¿Hay una función continua limitada$f$ st cierta integral no converge uniformemente a cero?

Question

La siguiente pregunta fue la razón de la pregunta Es que hay una limitada función de $f$ $f'$ ilimitados y $f''$ delimitada?, que había una respuesta negativa. Así que me gustaría publicar mi problema original:

Estoy tratando de encontrar un continuo delimitado función de $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-(y-x)^2/2t}f(y)dy -f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2/2}(f(x+\sqrt{t}y)-f(x))dy$$

NO convergen uniformemente a$0$$t\to 0+$. No estoy completamente seguro de que no es en realidad uno. Pero estoy bastante seguro. Yo estaba jugando con funciones como $\text{sin}(e^{2x})$. Pero hasta ahora sin suerte. Gracias por los comentarios.

Answer 1

Aquí es un ejemplo.

Permítanme escribir $p_t(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-x^2/2t}$ para el corto. Deje $f$ ser una función continua tal que para $n \ge 2$, centrada en torno a $x=n$, hay una protuberancia triangular de altura $1$ y la anchura $2/n^2$. En otros lugares es 0. Aquí es muy crudo de la imagen.

Observe que el golpe centrado en $n$ área $1/n^2$, lo $\int_{\mathbb{R}} f(x) dx = \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2} < \infty$. También, desde que me fui de $n=1$, cada golpe tiene la anchura de menos de $1/2$, por lo que se admite en $[n-\frac{1}{2}, n+\frac{1}{2}]$.

Nota: $f(n) = 1$ por cada $n$. Vamos a estimar el $\int_{\mathbb{R}} f(x) p_t(n-x)dx$. Primero vamos a considerar la parte de la integral de fuera de $[n-\frac{1}{2}, n+\frac{1}{2}]$, donde tenemos $p_t(n-x) \le p_t(1/2) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} e^{-1/8t}$. Por lo tanto, podemos enlazado a esta parte de la integral por $p_t(1/2) \int_{\mathbb{R}} f(x) dx$. Esto va de la a$0$$t \to 0$, así que tome $t$ lo suficientemente pequeño que este término es menos que, digamos, $1/4$. (Nota: esta parte es independiente de $n$.)

Ahora consideremos la integral sobre la $[n-\frac{1}{2}, n+\frac{1}{2}]$ que contiene un solo golpe. Desde $p_t(x)$ alcanza su máximo en$x=0$,$p_t(x) \le p_t(0) = (2 \pi t)^{-1/2}$. Desde el golpe es en realidad apoyado en $[n-\frac{1}{n^2}, n+\frac{1}{n^2}]$$f \le 1$, esta parte de la integral está delimitado por $\frac{2}{n^2} p_t(0) = \frac{2}{n^2 \sqrt{2 \pi t}}$. Podemos tomar $n$ tan grande que este también está a menos de $1/4$.

Así, hemos demostrado que para cualquier suficientemente pequeño $t$ existe $n$ tal que $\int_{\mathbb{R}} f(x) p_t(x-n)dx \le 1/2$, mientras que de $f(n) = 1$. Así que no tenemos convergencia uniforme.

La página de la Wikipedia, citado por Theo Buehler es incorrecta. Se cita a "hechos generales acerca de la aproximación a la identidad"; sin embargo, la condición habitual para $f * \psi_k \to f$ uniformemente es que $f$ ser uniformemente continua. Por supuesto, mi $f$ no es uniformemente continua.