composición de funciones y continuidad

Question

Hemos demostrado que si es continua en $g$ $c$ $f$ es continua en $g(c)$ $f \circ g$ es continua en c.

¿Me preguntaba que si es continua en $g$ $c$ $f \circ g$ es continua en c. $f$ debe continua en $g(c)$? No puedo encontrar un ejemplo contrario a él, por lo que supongo es cierto pero sin suerte de probarlo

Answer 1

Deje $f$ $g$ funciones de$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$. Es decir, $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ $$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$

Si $g$ es continua en a $c\in\mathbb{R}$ $f\circ g$ es continua en a$c$, $f$ es continua en a $g(c)$. No es cierto. Vamos a ver por qué. Vamos primero a través de la lógica, de la que ofrecemos a continuación un ejemplo.

Supongamos la siguiente:
(i) $g$ es continua en a $c$
(ii) $f\circ g$ es continua en a $c$

Por (i), para cada una de las $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que para cada una de las $x\in\mathbb{R}$ si $|x-c|<\delta$,$|g(x)-g(c)|<\epsilon$.

Por (ii), para cada una de las $\lambda>0$ existe $\eta>0$ tal que para cada una de las $x\in\mathbb{R}$ si $|x-c|<\eta$,$|(f\circ g)(x)-(f\circ g)(c)|<\lambda$.

Queremos mostrar que para cada una de las $\xi>0$ existe $\sigma>0$ tal que para cada una de las $x\in\mathbb{R}$ si $|x-g(c)|<\sigma$,$|f(x)-f(g(c))|<\xi$.

Deje $\xi>0$ ser arbitraria. Ahora queremos demostrar que no existe $\sigma>0$ tal que para cada una de las $x\in\mathbb{R}$ si $|x-g(c)|<\sigma$,$|f(x)-f(g(c))|<\xi$.

Sabemos que las siguientes:
(I) no existe $\delta>0$ tal que para cada una de las $x\in\mathbb{R}$ si $|x-c|<\delta$,$|g(x)-g(c)|<\xi$.
(II) no existe $\eta>0$ tal que para cada una de las $x\in\mathbb{R}$ si $|x-c|<\eta$,$|(f\circ g)(x)-(f\circ g)(c)|<\xi$.

En otras palabras:
(I) Si $x$ es lo suficientemente cerca como para $c$ (¿qué tan cerca? $\delta$ cerrar), a continuación, $g(x)$ está tan cerca como queramos $g(c)$.
(II) Si $x$ es lo suficientemente cerca como para $c$ (¿qué tan cerca? $\eta$ cerrar), a continuación, $(f\circ g)(x)$ está tan cerca como queramos $(f\circ g)(c)$.

Tenemos un problema! No podemos decir nada acerca de cómo $f$ se comporta al $x$ está realmente cerca de la $g(c)$!

Un Ejemplo

Deje $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser definido por $$ f(x)=\begin{cases} 1&\text{if }x\text{ is rational}\\ 0&\text{if }x\text{ is irrational} \end{casos} $$ Se llama a esta función de Dirichlet de la función.

Deje $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser definido por $$ g(x)=\begin{cases} \frac{1}{q}&\text{if }x\text{ is rational, in which case }x=\frac{p}{q}\text{ in lowest terms and }q>0\\ 0&\text{if }x\text{ is irrational} \end{casos} $$ Se llama a esta función Thomae de la función. Es continua en cada número irracional!

Aviso para cada $x\in\mathbb{R}$, $(f\circ g)(x)=1$. Es una función constante! Por lo tanto es continua.

Deje $c\in\mathbb{R}$ ser cualquiera (me refiero a cualquier) número irracional. Es $f$ continua en $c$? No. Como cuestión de hecho, $f$ es discontinua en todas partes! Pero $g$ $(f\circ g)$ son continuas en a $c$. Por lo tanto, la afirmación anterior ha sido demostrado ser no es cierto.

Espero que mi respuesta de largo aliento, no sólo respondió a su pregunta, pero también informado de la lógica de la continuidad, y lo que realmente significa.

Answer 2

Pruebe estos en$0$: $$ \ eqalign {g (x) & = x ^ 2 \ cr f (x) & = \ cases {1 & if$x \ge 0$ \ cr 2 & if$x < 0$ \ cr}} $$

Answer 3

G destacó texto denota "g es continua en c"

F denota "f es continua en g(c)"

C denota "f o g es continua en c"

Sentential Cálculo dice:

(((G --> (F --> C)) --> ((G ^ F) --> C))) A Través De La Importación

Cual es el axioma de parecido a tu situación, pero por desgracia no dice mucho acerca de :

(((G ^ F) --> C) --> (G --> (F --> C)))

Como nada puede ser concluido por el recíproco de esta declaración.

Entonces, en otras palabras, nada se puede concluir, a partir de "si g es continua en c y f∘g es continua en c."

Answer 4

Lo que estás pidiendo es la propiedad característica de incrustaciones resp. cociente de mapas, que es:

El mapa tiene la propiedad característica de incrustaciones si: $$f\text{ continuous}\iff \iota\circ f\text{ continuous}$$ Especialmente esto requiere de la incorporación a ser continua.

Un mapa tiene la característica de la propiedad del cociente de mapas si: $$g\text{ continuous}\iff g\circ\pi\text{ continuous}$$ Especialmente esto requiere que el cociente mapa que ser continuo. (Que es la situación de su pregunta.)

Además, los espacios incrustados resp. 'quotiented' espacios son precisamente lo que llamamos subespacios resp. cociente de espacios...