Integral sobre el $\mathcal{S}^{n-1}$ esfera

Question

Me he encontrado con la siguiente integral una y otra vez:

Sea $S^{n-1}= \{x \in \mathbb{R}^{n} \: | \: ||x||=1 \}$ y que $\lambda_{S^{n-1}}$ denotan la medida de superficie sobre $S^{n-1}$ tal como se define en Stroock (2000) página 86.

Consideremos una matriz fija simétrica y definida positiva $Q$ de dimensión $n \times n$ y un escalar fijo $a\in \mathbb{R}_{+}$

Pregunta 1) ¿Sabes si existe una solución de forma cerrada para la integral:

$$\int_{S^{n-1}} \exp\Big(a \omega'Q\omega \Big) \lambda_{S^{n-1}} (d \omega) $$

En $n=2$ puedo expresar esta integral como una función de Bessel modificada del primer tipo $I_{v}(x)$ con $v=0$ evaluados en los valores propios de $Q$ .

Pregunta 2) ¿Alguna sugerencia sobre un buen método numérico para resolver esta integral?

Gracias.

*Stroock (2000) "Una introducción concisa a la teoría de la integración"

Answer 1

Sea $I(a)$ con $a\geqslant0$ denota la integral a calcular. Para cada $t$ la descomposición de $x$ en $\mathbb R^n$ en una parte radial $r$ y una parte esférica $\omega$ produce $$ \int_0^{+\infty}r^{n-1}\mathrm e^{-\frac12tr^2}I\left(\tfrac12r^2\right)\mathrm dr\propto\int_{\mathbb R^n}\mathrm e^{-\frac12x^*(tI-Q)x}\mathrm dx, $$ donde el $\propto$ signo subsume algunos factores de proporcionalidad en función de $n$ . El lado derecho es una integral gaussiana, por lo tanto, para cada $t$ suficientemente grande, es proporcional a $(\det(tI-Q))^{-1/2}$ . Sea $(q_k)_{1\leqslant k\leqslant n}$ denotan los valores propios de $Q$ . El cambio de variable $s=\frac12r^2$ en el LHS se obtiene $$ \int_0^{+\infty}\mathrm e^{-ts}I(s)s^{\frac{n-2}2}\mathrm ds\propto\prod_{k=1}^n\frac1{\sqrt{t-q_k}}. $$ Para cada $q$ define $g_q:s\mapsto\mathrm e^{qs}s^{-\frac{1}2}$ (de ahí, la función $g_q$ es similar a la densidad de una distribución gamma $\Gamma(\frac12,\beta)$ pero para algunos negativos $\beta=-q$ ). Entonces, $$ \frac1{\sqrt{t-q}}\propto\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-ts}g_{q}(s)\mathrm ds, $$ por tanto, por identificación, $$ I(s)\propto s^{-\frac{n-2}2}\cdot h(s),\qquad h=g_{q_1}\ast g_{q_2}\ast\cdots\ast g_{q_n}. $$ La convolución $h$ no tiene una expresión sencilla en el caso general pero, cuando $s\to0$ , $h(s)$ es proporcional a $s^{\frac{n-2}2}$ de ahí el prefactor $s^{-\frac{n-2}2}$ en la expresión de $I(s)$ se anula y no hay singularidad en $s=0$ como era de esperar, ya que $I(0)=1$ .

Esta observación y una estimación de $h(s)$ cuando $s\to0$ demuestre que $I(s)=c_n\cdot s^{-\frac{n-2}2}\cdot h(s)$ con $$ \frac1{c_n}=\iint_{0\leqslant s_1+\cdots+s_{n-1}\leqslant1}s_1^{-1/2}s_2^{-1/2}\cdots (1-s_1-\cdots-s_{n-1})^{-1/2}\mathrm ds_1\cdots\mathrm ds_{n-1}, $$ es decir, $c_n=\Gamma(n/2)\cdot\pi^{-n/2}$ . Obsérvese por último que, como confirmación, $I(s)=\mathrm e^{sq}$ en todas las dimensiones $n\geqslant1$ cuando $q_1=\cdots=q_n=q$ .