Ampliación de la idea de la codificación superdensa

Question

Estaba leyendo el codificación superdensa que permite a A transmitir dos bits clásicos a B mediante el envío de un qubit (suponiendo que B envía a A un qubit de antemano). Así, B crea un estado de 2 qubits y envía el primer qubit a A. A realiza una transformación en este qubit y lo devuelve. Basándose en ello, B puede distinguir si los dos bits de A eran 00, 01, 10 u 11.

La pregunta es: ¿por qué no se puede ampliar esta idea para transmitir más de 2 bits? ¿Puede A transmitir n bits a B de esta manera? Más concretamente, ¿puede B crear un estado de n qubits y enviar el primer qubit a A? A puede entonces aplicar una transformación unitaria sobre este qubit y enviarlo de nuevo a B, que puede distinguir entre las 2^n posibilidades y averiguar qué n bits tenía A.

Answer 1

El problema es que no se puede crear $2^{n}$ estados ortogonales en $n$ qubits utilizando sólo operaciones en 1 qubit. Las operaciones que se pueden realizar en un solo qubit son $I,X,Z,XZ$ (o algo parecido). Si se utilizan esos cuatro se obtienen cuatro estados ortogonales en $n$ qubits pero cualquier otra operación dará estados que no son ortogonales a estos cuatro. Si los estados no son ortogonales, no se pueden distinguir de forma fiable. Si utilizas estados que no son distinguibles y luego alguna estrategia (como la estimación de máxima verosimilitud) para tratar de adivinar el estado que has recibido, entonces acabarás con un canal ruidoso que tiene una capacidad menor o igual a $2n$ bits.

Si utilizó $4$ qubits, enviados $2$ y se mantuvo $2$ para actuar y enviar más tarde, entonces puede enviar $4$ pero obviamente esto no es mejor que usar $2$ Sistemas de 2 qubits.

Answer 2

No de la manera que usted sugiere, pero es posible transferir más con estados que tienen mayor dimensión en ambos lados. Aquí está primero la teoría general sobre la codificación superdensa. Lo que se ve es un estado $\rho$ sobre la que Alice realiza una transformación unitaria local $U$ y envía su parte del estado a Bob. Se puede demostrar que la cantidad máxima que se puede transferir por esta vía viene dada por la entropía condicional $\log_2(d_A) - S(A|B)$ . Por supuesto $\log_2(d_A)$ es sólo la capacidad clásica máxima, por lo que se puede ver que para superar la clásica se necesita un negativo la entropía condicional, un fenómeno puramente cuántico. Esto puede verse utilizando la entropía relativa. Como Bob conoce el estado $\rho^B$ puede ganar como máximo $S(\rho^{AB} \lVert (1/d_A) \otimes \rho^B)$ cuando Alicia le envía su parte del estado, que es precisamente igual a $\log_2(d_A) - S(A|B)$ , donde $d_A$ es la dimensión del sistema de Alice (y $d_B$ de Bob). Para un argumento detallado de esto ver http://arxiv.org/abs/quant-ph/0407037 . Desde $S(A|B) \geq -\log_2(\min(d_A,d_B))$ , que es cuando el estado es puro y está enredado al máximo, se puede ver que lo máximo que se puede transferir de esta manera es $\log_2(d_A \cdot \min(d_A,d_B))$ . En el caso de que los sistemas de Alice y Bob tengan la misma dimensión, que es la mayoría de las veces, se obtiene $2 \log_2(d)$ , donde $d$ es la dimensión Con $n$ qubits que tiene $d = 2^n$ para que $2n$ bits es la velocidad máxima de transmisión con $n$ qubits.

Así que para responder a su pregunta. Tienes un estado de n qubits pero sólo se envía un qubit a la otra parte. En este caso, $S(A|B) \geq -\log_2(2) = -1$ para que lo máximo que se pueda enviar sean 2 bits. Intuitivamente, se puede ver esto al notar que lo que permite la capacidad adicional es el hecho de que el estado se ve como $|00> + |11>$ inicialmente. Si Bob tiene una dimensión superior, compartirán tendrá $|\phi_0>|0> + |\phi_1>|1>$ donde $|\phi_0>, |\phi_1>$ ahora viven en un espacio de Hilbert de mayor dimensión. Sin embargo, todavía tiene en más dos estados ortogonales, de modo que tener una mayor dimensión en un lado no permite una mayor capacidad que $|00> + |11>$ .

Quizá le interese saber que la codificación densa con estados multipartitos también se ha considerado en http://arxiv.org/abs/quant-ph/0507146 .