Al resolver un sistema de ecuaciones, ¿por qué no se conservan las soluciones?

Question

Tengo las ecuaciones $$6x^2+8xy+4y^2=3$$

$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$$ \qquad $$\qquad$$ \qquad $$\qquad$$ \qquad $$\qquad$ y $$2x^2+5xy+3y^2=2$$

Esta pregunta se puede encontrar aquí y la respuesta escrita por "respuesta" fue la siguiente:

Multiplica el segundo por 8 para obtener: $16x^2+40xy+24y^2=16$

Multiplica el primero por 5 para obtener: $30x^2+40xy+20y^2=15$

Resta los dos para obtener: $14x^24y^2=1$

Más tarde, el tipo dijo que no se tuviera en cuenta su solución porque las soluciones de las dos primeras ecuaciones no satisfacen la tercera ecuación. ¿Por qué ocurre esto? Gracias.

Answer 1

¡No es posible! Y de hecho, has citado mal la respuesta del usuario 'respuesta' en ese post. Dice:

mi sugerencia no funciona porque una solución a la tercera eqn no necesita satisfacer las dos eqns originales.

Necesariamente, cualquier solución a las dos primeras ecuaciones también satisface la tercera.

Lo que en realidad querían decir es lo siguiente: ciertamente puede haber soluciones a la tercera ecuación que no satisfagan las dos primeras. Esto se debe a que ha habido alguna pérdida de información: ¡has cancelado términos!

Por ejemplo, en este caso concreto, $(x,y)=(0,\frac{1}{2})$ resuelve la tercera ecuación, pero no las dos primeras.

Answer 2

Tus dos ecuaciones iniciales son elipses (rotadas); su intersección puede ser de hasta cuatro puntos. Tu ecuación derivada es una hipérbola, que tiene infinitas soluciones, incluyendo no sólo las cuatro sino muchas otras.

Answer 3

Multiplica la primera ecuación por 2 y la segunda por 3, para que las ecuaciones sean iguales. Entonces tienes $12x^2+16xy+8y^2=6x^2+15xy+9y^2$ o $6x^2+xy-9y^2=0$ . Ahora divide entre $x^2$ y defina $z=\frac{x}{y}$ , dando como resultado $z^2-z-6=0$ . Así $z=3$ o $-2$ . Si se vuelve a sustituir se obtiene $x=\pm\frac23\sqrt{33}$ o $\pm\frac12\sqrt3$ y los correspondientes valores y de z.