¿Podemos definir una función como un producto cartesiano de *tuplas*? ¿Podríamos hacer uso de los índices implícitos de las variables al definir la función?

Question

En primer lugar, como se ha señalado en los comentarios, esta pregunta está anotada y por lo tanto puede que no sea la más fácil de entender. El quid de la cuestión es si la notación que utilizo tiene sentido y si se podrían utilizar esas ideas (por ejemplo, utilizando el valor del índice de una variable dentro de alguna tupla)

Diremos que un n-tuple $(a_0, a_1,...,a_n)$ es la colección ordenada que tiene $a_i$ como su i-ésimo elemento para todos los números enteros de tal manera que $0 \leq i \leq n$

Dos n-tuplas son iguales si cada par de entradas correspondientes son iguales. Es decir, $(a_0, a_1,...,a_n) = (b_0, b_1,...,a_n)$ si y sólo si $a_i = b_i$ para todos $i \in $ { $0,1,2,...,n$ }

También tenga en cuenta lo siguiente:

Sólo consideraremos tuplas finitas cuando ninguna tupla contenga elementos repetidos. Es decir, cada elemento en las tuplas que somos considerar es distinto.

Ahora, en cuanto a la definición de una n-tupla podríamos ser más técnicos, pero no creo que deba importar. El punto principal que quiero utilizar sobre las tuplas es que tienen valores de índice (es decir, sus elementos están ordenados). Y en nuestro caso, quiero utilizar el hecho de que cada elemento corresponde a un índice único. Esto es válido en nuestro caso ya que ninguna tupla tiene elementos repetidos.

Ahora daré algunos ejemplos de lo que me gustaría hacer. Me pregunto si tales cosas son convencionales, y si no, si todavía serían aceptables.

Considere las 2 tuplas $t = (a, b, c)$ y $r = (a, d, f)$ y el conjunto $S = $ { $ {a,b,c}$ }

Primero:

• ¿Tiene sentido preguntar algo como "Es $a \in t$ ?" como lo hacemos cuando preguntamos (por ejemplo como ejercicios en alguna introducción al libro de teoría del juego) "Es $a \in S$ ?" ? ¿El símbolo $' \in $ tienen sentido cuando se aplican a las tuplas? Estoy trabajando en algo en lo que estoy trabajando explícitamente con tuplas y me gustaría poder plantear afirmaciones como "si x es un elemento de la tupla t, entonces...". Pero no estoy seguro de si eso incluso tiene sentido matemático . Hablar de "elementos" de una tupla, creo que intuitivamente tiene sentido, pero no estoy seguro de si técnicamente el ''elemento'' de una tupla $ \in $ El símbolo "es la forma en que uno lo hace".

Observación : Y si voy a usar $ \forall x \in t$ Me refiero a todos los valores de la tupla $t$ de la misma manera que $ \forall x \in S$ significa que todos los valores en $S$ .

Segundo:

• ¿Podríamos tener un producto cartesiano de las 2 tuplas? Si se utiliza el $ \in $ como lo hice en la primera pregunta tiene sentido, entonces podemos definir el producto cartesiano de dos tuplas como: El Producto cartesiano de dos tuplas $t$ y $r$ denotado por ( $t \times r$ ) es el conjunto de pares ordenados $(a,b)$ donde $a \in t$ y $b \in r$ .

Es decir, (al igual que la definición w.r.t. establece), tenemos que ( $t \times r) := $ { $(a, b) : a \in t \wedge b \in r$ }

¿Se utiliza esto en absoluto, si no, sería aceptable?

Ejemplo: Usando las tuplas $t$ , $r$ definido anteriormente, ( $t \times r) =$ { $(a,a) ,(a,d) , (a,f) , (b,a) , (b,d) , (b,f) , (c,a) , (c,d) , (c,f) $ }

Nota, esto resulta en un set no una tupla.

Tercero:

Primero, digamos también que para cualquier tupla $t$ (donde el dominio consiste sólo en los tipos de tuplas que estamos considerando), $I_t(x) $ denota el valor del índice asociado al elemento x de la tupla t, para todo x en t.

• Ok, ahora también tengo curiosidad por saber si el siguiente tipo de declaración tiene sentido o no. Lo que quiero hacer es definir una función, pero al definir esta función quiero hacer uso de los índices de implicación asociados a los valores de las tuplas que estamos considerando. Lo que quiero es tener una tupla en sí misma ser el dominio . Es decir, quiero tener una función a $f$ : $t \rightarrow $ $ \mathbb {N}$

¿Qué significa esto? Quiero que el dominio sea todos los valores de la tupla $t$ pero no quiero sólo los valores. También quiero hacer uso de los valores de los índices . Es decir, quiero que esos valores de alguna manera ser parte del argumento de entrada .

Así que, ¿por qué no crear un conjunto cuyos elementos sean todos los elementos de la tupla $t$ ? Bueno, el problema es que no habría valores índice asociados con esos elementos. Sólo los elementos de una tupla tienen un índice asociado (en nuestro caso, cada valor tiene un único índice asociado).

Quiero definir $f$ como algo así como: por cada tupla $t$ definimos una función $f: t \rightarrow \mathbb {N}$ como si fuera $f(x) = I_t(x) + 2$ , $ \forall x \in t $ .

Ejemplo: Usando la tupla $r$ definido en el principio, $f(d) = 1 + 2 = 3$

El punto es que quiero que el valor de la función en parte esté determinado por el índice con el que se asocia/reside el argumento, con respecto a la tupla de la que proviene.

Mi pregunta es si esto se hace en cualquier lugar de las matemáticas, y si no es así, ¿sería aceptable hacerlo siempre y cuando dé la explicación que estoy dando aquí (con un poco más de rigor)?

Cuarto:

Llevando las cosas un paso más allá, también me gustaría tener una función que vaya desde el producto cartesiano de 2 tuplas $a$ y $b$ a los números naturales. Eso es lo que me gustaría tener, $g : (a \times b) \rightarrow \mathbb {N}$ Y luego definir $g$ para ser algo como $g( (x,y) ) = I_a(x) + I_b(y) + 2$ para todos $x \in a$ y $b \in b$

Ejemplo: De nuevo usando las tuplas ya definidas $t$ y $r$ g((c,d)) = 2 + 1 + 2 = 5

Lo que pasa con las matemáticas, sin embargo, es que se trata de la creación de muchas maneras, siempre y cuando seas lo suficientemente preciso. Así que incluso si estas ideas no son realmente convencionales, ¿soy lo suficientemente preciso (más o menos) para poder usar estas ideas? Mi preocupación es que tal vez el hecho de que una tupla sea un dominio en sí mismo, por ejemplo, está demasiado fuera del ámbito de la normalidad.

Gracias por tomarse el tiempo de leerlo todo, espero que tenga sentido.

Answer 1

Me gustas. A diferencia de la mayoría de la gente, realmente piensas en las cosas.

La forma habitual de hacerlo es pensar en una tupla $x \in X^n$ como una función $n \rightarrow X$ , no necesariamente inyectiva, donde $n$ se identifica con el conjunto $\{0,\ldots,n-1\}$ . Entonces:

Primero.

• $a \in x$ puede interpretarse como una abreviatura de $a \in \mathrm{img}(x)$ Así que sí, esto tiene sentido.

• Es posible que desee definir un nuevo símbolo $\dot{\in}$ y afirmar que $a \mathbin{\dot{\in}} x$ es el número de veces que $a$ se produce en la tupla $x$ . Explícitamente, si $x \in X^n$ entonces $$a \mathbin{\dot{\in}} x = |i \in n : x_i = a|.$$

• Puedes escribir $x^{-1}(a)$ para el conjunto de todos los índices en los que el valor $a$ se produce. Explícitamente, si $x \in X^n$ entonces $$x^{-1}(a) = \{i \in n : x_i = a\}.$$

Segundo. Sí, se pueden tomar productos cartesianos de funciones, por lo que los productos cartesianos de tuplas son un caso especial. En particular: $$\frac{f : A \rightarrow B \qquad f' : A' \rightarrow B'}{f \times f' : A \times A' \rightarrow B \times B'}$$ $$(f \times f')(a,a') = (f(a),f(a'))$$

De acuerdo con la teoría de la categoría, todo esto está empaquetado en algo llamado el "functor del producto cartesiano". A juzgar por tus intereses, definitivamente deberías aprender algo de teoría de categorías.

Como has observado, el producto cartesiano de tuplas no suele ser una tupla. Esto se puede resolver de la siguiente manera. Para cada par de números naturales $a$ y $b$ hay una función $\lambda_{a,b} : ab \rightarrow a \times b$ que implementa el orden lexicográfico. Entonces, si $x \in X^a$ y $y \in Y^b$ podemos construir $x \times y : a \times b \rightarrow Y \times X$ y luego componer con $\lambda$ para obtener $$(x \times y) \circ \lambda_{a,b} : ab \rightarrow X \times Y,$$ que es una tupla. Esto tiene que ver con conmutatividad .

Tercero. En lugar de definir funciones sobre tuplas, lo habitual es definir funciones sobre el dominio o el codominio. Por ejemplo, si se quiere contar el número de ocurrencias en una tupla $x \in X^n$ esto podría ser visto como la función $X \rightarrow \mathbb{N}$ definido por $a \mapsto a \mathbin{\dot{\in}} x$ .

Cuarto. Todo lo que he dicho ignora tu suposición inicial de inyectividad. Si esto es fundamental para lo que estás haciendo, quizás lo que realmente buscas es la noción de "conjunto finito totalmente ordenado". Estos pueden ser tratados como si fueran conjuntos de una manera bastante directa. Tienes razón al señalar que si $A$ y $B$ son conjuntos finitos totalmente ordenados, entonces $A \times B$ no está totalmente ordenado con el orden habitual. Sin embargo, está parcialmente ordenado. Y se puede utilizar el orden lexicográfico para totalizarlo, si se desea.