¿Por qué una transformación lineal es un tensor (1,1)?

Question

Wikipedia dice que una transformación lineal es una $(1,1)$ tensor. ¿Esto lo restringe a las transformaciones de $V$ a $V$ o es una transformación de $V$ a $W$ también un $(1,1)$ tensor? (donde $V$ y $W$ son ambos espacios de vectores). Creo que debe ser el primer caso ya que también establece que una función lineal es una $(0,1)$ tensor y esto es una transformación de $V$ a $R$ . Si es el segundo caso, ¿podría explicar por qué las transformaciones lineales son $(1,1)$ tensores.

Answer 1

Es muy común en el análisis tensorial asociar endomorfismos en un espacio vectorial con tensores (1,1). A saber, porque existe un isomorfismo entre los dos conjuntos.

Definir $E(V)$ para ser el conjunto de endomorfismos en $V$ .

Dejemos que $A\in E(V)$ y definir el mapa $\Theta:E(V)\rightarrow T^1_1(V)$ por \begin{align*} (\Theta A)(\omega,X)&=\omega(AX). \end{align*} Demostramos que $\Theta$ es un isomorfismo de espacios vectoriales. Sea $\{e_i\}$ sea una base para $V$ y que $\{\varepsilon^i\}$ sea la base dual correspondiente. En primer lugar, observamos $\Theta$ es lineal por la linealidad de $\omega$ . Para demostrar la inyectividad, supongamos $\Theta A = \Theta B$ para algunos $A,B\in E(V)$ y que $X\in V$ , $\omega \in V^*$ sea arbitraria. Entonces \begin{align*} (\Theta A)(\omega,X)&=(\Theta B)(\omega,X)\\ \\ \iff \omega(AX-BX)&=0. \end{align*} Desde $X$ y $\omega$ fueran arbitrarias, se deduce que \begin{align*} AX&=BX\\ \iff A&=B. \end{align*} Para demostrar la subjetividad, supongamos $f\in T^1_1$ tiene representación de coordenadas $f^j_i \varepsilon^i \otimes e_j$ . Deseamos encontrar $A\in E(V)$ tal que $\Theta A = f$ . Simplemente elegimos $A\in E (V)$ tal que $A$ tiene la representación matricial $(f^j_i)$ . Si escribimos la representación de nuestro vector $X$ y el cobertor $\omega$ como \begin{align*} X&=X^i e_i\\ \omega&=\omega_i \varepsilon^i, \end{align*} tenemos \begin{align*} (\Theta A)(\omega, X)&=\omega(AX)\\ \\ &=\omega_k \varepsilon^k(f^j_i X^i e_j)\\ \\ &=f^j_i X^i \omega_k \varepsilon^k (e_j)\\ \\ &=f^j_i X^i \omega_k \delta^k_j\\ \\ &=f^k_i X^i \omega_k. \end{align*} Sin embargo, vemos \begin{align*} f(\omega,X)&=f(\omega_k\varepsilon^k,X^ie_i)\\ \\ &=\omega_k X^i f(\varepsilon^k,e_i)\\ \\ &=f^k_i X^i \omega_k. \end{align*} Desde $X$ y $\omega$ fueran arbitrarias, se deduce que $\Theta A = f$ . Así, $\Theta$ es lineal y biyectiva, por lo que es un isomorfismo.

Answer 2

Dejemos que $T : V \mapsto W$ . Entonces defina $\tau: V \times W^* \mapsto K$ tal que, para $a \in V$ y $\alpha \in W^*$ tenemos

$$\tau(a, \alpha) = (\alpha \circ T)(a)$$

Tenga en cuenta que es típico definir tensor para significar un mapa multilineal que es una función de vectores sólo en el mismo espacio vectorial, o de covectores en el espacio dual asociado, o alguna combinación de ambos. Así, podríamos identificar un operador lineal $T: V \mapsto V$ con un $(1,1)$ tensor $\tau: V \times V^* \mapsto K$ pero en el caso de que $V$ y $W$ son espacios vectoriales distintos, éstos sólo serían una construcción de mapas multilineales, no tensores.

Answer 3

Para resumir como respuesta lo que escribí en varios comentarios más arriba: primero ten en cuenta que los autores difieren en su definición de tensor, incluso cuando usan el mismo enfoque, es decir, usando el producto tensorial en este caso.

Para algunos autores un tensor se define sólo como ...

$$ T\in \underbrace{V \otimes\dots\otimes V}_{n \text{ copies}} \otimes \underbrace{V^* \otimes\dots\otimes V^*}_{m \text{ copies}}$$

A partir de lo cual tiene sentido hablar de un tipo- $(n,m)$ tensor.

Para otros un tensor es cualquier...

$$T\in V_1 \otimes\dots\otimes V_d$$

donde $V_1, \dots, V_d$ pueden ser espacios vectoriales diferentes, sin embargo todos deben estar sobre el mismo campo escalar. Y con esta última definición se puede hablar de un orden $d$ tensor. Un tipo $(n,m)$ tensor [en el sentido anterior] es un tensor de orden $d=n+m$ en este último sentido, pero la segunda definición es más amplia ya que no nos restringe a un único espacio vectorial. En particular, un tensor de segundo orden es un elemento de $V \otimes W$ donde $V$ y $W$ pueden ser dos espacios vectoriales diferentes. Los tensores de tipo (1,1) son tensores de segundo orden, pero lo contrario de esta afirmación no tiene sentido. (Nota: He actualizado la Wikipedia para reflejar estas diferentes definiciones).

En cuanto a tu segunda pregunta, los endomorfismos (mapas lineales) de un espacio vectorial a sí mismo son (isomorfos con) tensores de tipo-(1,1) ( prueba detallada dada aquí por beedge89 ), pero si se consideran homomorfismos (mapas lineales) entre diferentes espacios vectoriales $V$ y $W$ es decir $\mathrm{Hom}(V,W)$ son isomorfos sólo con una cierta clase de tensores de orden 2, es decir, con $V^* \otimes W$ . Si dejamos que $(\phi, w)\in V^* \times W$ entonces la correspondencia viene dada por $\phi \otimes w \leftrightarrow F_{\phi, w}$ donde este último es un mapa (lineal) definido como $F_{\phi, w} (v) = \phi(v)w$ . (Recuerde que covectores son a su vez mapas de vectores a escalares, por lo que la fórmula de $F$ tiene sentido ya que es un producto del escalar $\phi(v)$ con el vector $w$ ). Una prueba detallada del hecho de que se trata de un isomorfismo se da en Yokonuma ( pp. 18-19 ). Pido disculpas por no haberlo incluido aquí.

Como se puede esperar, el resultado para los tensores de tipo-(1,1) también se deduce como corolario de esto, es decir $\mathrm{Hom}(V,V)$ es isomorfo con $V^* \otimes V$ (y con $V \otimes V^*$ por conmutatividad del producto tensorial, que también se entiende en el sentido de un isomorfismo entre $V \otimes W$ y $W \otimes V$ para cualquier espacio vectorial $V$ y $W$ ).

Y una advertencia importante: se trata de un isomorfismo sólo para espacios vectoriales de dimensión finita. (La introducción del libro de Yokonuma dice, de hecho, que hay que suponer que todos los espacios vectoriales del libro son de dimensión finita, a menos que se indique lo contrario). Si ambos $V$ y $W$ son de dimensión infinita, entonces resulta que $V^*\otimes W$ es sólo un subespacio propio de $\mathrm{Hom}(V,W)$ , es decir, es el subespacio de transformación lineal de finito rango .

Y para relacionar esto con los mapas bilineales (y en general con los multilineales): también hay una correspondencia uno a uno entre bi lineal mapas $f : V\times W \to U$ y $linear$ mapas $g : V\otimes W \to U$ . (Para una prueba, véase por ejemplo http://www.landsburg.com/algebra.pdf ) Por eso se dice que los tensores de segundo orden son sólo mapas bilineales y, en general, por qué d -Se dice que los tensores de orden son sólo mapas multilineales.