Deje$k$ ser un campo. Puedo mostrar que hay un homomorfismo en el anillo inyectivo a partir de la localización$k[x]_{(x)}$ en$k[[x]]$. Mi pregunta es: ¿Puede$k[x]_{(x)}$ ser isomorfo a$k[[x]]$? Si$k$ está cerrado algebraicamente, ¿es verdad que$k[x]_{(x)}$ no puede ser isomorfo con$k[[x]]$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Supongo que tu pregunta es si los naturales mapa de $k[x]_{(x)} \to k[[x]]$ es un isomorfismo. Yo reclamo que nunca es un isomorfismo; para probar esto basta para construir, para cada campo de $k$, una potencia de la serie que no está en la imagen. De hecho, es posible anotar un poder único de la serie que funciona para cada $k$: yo creo que
$$f(x) = \sum_{n \ge 0} x^{n^2}$$
nunca se encuentra en la imagen de $k[x]_{(x)}$. Esto es equivalente a decir que no existe ningún polinomio $p(x) \in k[x]$ con término constante diferente de cero tal que $p(x) f(x)$ es un polinomio, o dicho de otra manera, que $f$ no es racional.
Para ver esto, supongamos que $\deg p(x) = d$. A continuación, para $n$ mayor que en algún lugar alrededor de $\frac{d}{2}$, las distancias entre términos consecutivos $x^{n^2}$ es mayor que o igual a $d$; más allá de ese punto ya no hay ninguna cancelación en el cómputo de $p(x) f(x)$, por lo que los coeficientes de $f(x)$ se convierten en los coeficientes de $p(x)$, espaciados más y más separados. En particular, ellos nunca son eventualmente cero.
(Una más complicado que la versión de este argumento establece que $f(x)$ no sólo no es racional, no es algebraico.)
También hay varios otros argumentos para diferentes campos de $k$: en todos los casos, el punto es mostrar que existe una explotación irracional de alimentación de la serie y sólo existen muchas maneras de hacer esto.
Si $k$ es en la mayoría de los contables no es una cardinalidad argumento: $k[x]_{(x)}$ es contable, pero $k[[x]]$ es, como un conjunto, el producto de countably muchas copias de $k$, y por lo tanto es incontable. Explícitamente esto se reduce a diagonalizing sobre todo racional de energía de la serie de escribir un irracional.
Si $k$ es un subcampo de la $\mathbb{C}$ a continuación, el crecimiento de los argumentos se vuelven posibles: coeficientes de energía racional de la serie a crecer en la mayoría de los exponencialmente, y así por ejemplo, la $f(x) = \sum n! x^n$ no puede ser racional. Más analítica manera de decir esto es que la energía racional de la serie tiene un valor distinto de cero radio de convergencia por lo que cualquier valor distinto de cero de energía de la serie con cero radio de convergencia es irracional. Muchas, muchas otras construcciones y los argumentos son posibles aquí; por ejemplo, $f(x) = e^x$ es irracional, porque, como holomorphic de la función en $\mathbb{C}$, no tiene polos, sino que crece más rápido que un polinomio.
Si $k$ es infinitamente generado, se observa que los coeficientes de una energía racional de la serie sobre $k$ necesariamente se encuentran en un finitely generado subcampo de $k$. Por lo que cualquier $f(x) = \sum f_n x^n$ con la propiedad de que los coeficientes de generar un subcampo de la $k$ no contenida en un finitely generado subcampo es irracional. Pero ahora observar que cualquier finitely campo generado es contable, y así que la argumentación 1 se aplica en ese caso; por lo que este argumento, junto con el argumento 1 proporciona una alternativa de la prueba en general.
