computa $\text{Hom}(\mathbb Z_p, \mathbb Z)$ (números enteros p-ádicos)

Question

¿Cómo puedo calcular $\text{Hom}(\mathbb Z_p, \mathbb Z)$ o $\text{Hom}(\mathbb Z_p, \mathbb Q)$ ? (Por $\mathbb Z_p$ Me refiero a los enteros p-ádicos).

Answer 1

No estoy seguro de que esta sea una respuesta totalmente satisfactoria, pero quiero compartir la siguiente construcción que demuestra, al menos cuando se asume una teoría de conjuntos adecuada, la existencia de muchísimos homomorfismos de grupos aditivos de $\Bbb{Z}_p$ a $\Bbb{Q}$ y también para proporcionar un cierto tipo de censo de los mismos.

Considere el campo de $p$ -número de radicales $\Bbb{Q}_p$ . Es una extensión del campo $\Bbb{Q}$ por lo que es un espacio vectorial sobre $\Bbb{Q}$ . Si aceptamos el axioma de elección, esto implica que existe un $\Bbb{Q}$ -base $\mathcal{B}$ de $\Bbb{Q}_p$ . Además, como $\Bbb{Q}_p$ es incontable, también lo es $\mathcal{B}$ . Por lo tanto, tenemos una gran oferta de $\Bbb{Q}$ -mapas lineales $f:\Bbb{Q}_p\to\Bbb{Q}$ . Es decir, cualquier función $\tilde{f}:\mathcal{B}\to\Bbb{Q}$ da lugar a una única transformación lineal $f$ de la forma habitual.

La composición de cualquier $f$ con la cartografía de inclusión $i:\Bbb{Z}_p\to\Bbb{Q}_p$ da un homomorfismo $F:=f\circ i:\Bbb{Z}_p\to\Bbb{Q}$ .

Hay que hacer algunas observaciones:

• Cualquier homomorfismo $f$ de grupos aditivos de $\Bbb{Q}_p\to\Bbb{Q}$ es en realidad una transformación lineal. Si $q=m/n\in\Bbb{Q}$ y $z\in\Bbb{Q}_p$ son arbitrarios, entonces $y:=f(qz)$ debe satisfacer la ecuación $$ny=nf(qz)=f(nqz)=f(mz)=mf(z).$$ Esta ecuación tiene una solución única $y=qf(z)$ en $\Bbb{Q}$ demostrando la linealidad.
• Cada elemento $z\in\mathcal{B}$ es de la forma $z=x/p^{n}$ para algunos $x\in\Bbb{Z}_p$ y $n\in\Bbb{N}$ . Así que, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $\mathcal{B}\subset\Bbb{Z}_p$ . En consecuencia, las diferentes opciones de $f$ dan lugar a diferentes homomorfismos $F$ .
• Porque $\Bbb{Q}$ es divisible, es un objeto inyectivo en la categoría de grupos abelianos. Por tanto, cualquier homomorfismo $F:\Bbb{Z}_p\to\Bbb{Q}$ se puede elevar a un homomorfismo correspondiente $f:\Bbb{Q}_p\to\Bbb{Q}$ tal que $F=f\circ i$ . En otras palabras, hemos dado cuenta de todos los homomorfismos de grupos aditivos $\in Hom(\Bbb{Z}_p,\Bbb{Q}).$

Los homomorfismos de grupos aditivos $\Bbb{Z}_p\to\Bbb{Q}$ son las restricciones de $\Bbb{Q}$ -transformaciones lineales $\Bbb{Q}_p\to\Bbb{Q}$ . Las distintas transformaciones tienen distintas restricciones, por lo que en este sentido $\text{Hom}(\mathbb Z_p, \mathbb Q)$ es el espacio dual $\widehat{\Bbb{Q}_p}.$