Serie de Fourier

Question

Encuentre la serie de Fourier para$$f(x)=\sin(x)+\cos(2x)$ $

Obtuve$a_0=0$ que parece correcto pero estoy luchando con$a_n$ y$b_n$. Aquí están mis intentos:

$$ \begin{align} a_n&=\frac{1}{2\pi} \overbrace{\int\limits_0^{2\pi} \cos(nx)\sin(x)dx}^{\text{odd function}}+\int\limits_0^{2\pi} \cos(nx)\cos(2x)dx\\ &= \frac{1}{2\pi} \left[\frac{\sin(nx)}{n}\cos(2x)\right]_0^{2\pi}-2\cdot\int\limits_0^{2\pi}\frac{\sin(nx)}{n}\sin(2x)\\ \end {align} $$

Si integro el segundo término otra vez, obtengo una función par una y otra vez. Necesito un teorema de adición apropiado o algo más. ¿Algún consejo?

Answer 1

$$\text{a}_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\sin(x)+\cos(2x))\space\text{d}x=$$ $$\frac{1}{\pi}\left[\int_{-\pi}^{\pi}\sin(x)\space\text{d}x+\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2x)\space\text{d}x\right]=$$

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Ahora, uso: $\int\sin(x)\space\text{d}x=\text{C}-\cos(x)$

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$$\frac{1}{\pi}\left[\left[-\cos(x)\right]_{-\pi}^{\pi}+\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2x)\space\text{d}x\right]=$$

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Sustituto $u=2x$$\text{d}u=2\space\text{d}x$.

Esto le da un nuevo límite inferior $u=-2\pi$ y el límite superior $u=2\pi$:

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$$\frac{1}{\pi}\left[\left[-\cos(x)\right]_{-\pi}^{\pi}+\frac{1}{2}\int_{-2\pi}^{2\pi}\cos(u)\space\text{d}u\right]=$$

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Ahora, uso: $\int\cos(x)\space\text{d}x=\sin(x)+\text{C}$

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$$\frac{1}{\pi}\left[\left[-\cos(x)\right]_{-\pi}^{\pi}+\frac{1}{2}\left[\sin(u)\right]_{-2\pi}^{2\pi}\right]=0$$

SIGUIENTE:

$$\text{a}_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\sin(x)+\cos(2x))\cos(nx)\space\text{d}x=$$ $$\frac{1}{\pi}\left[\int_{-\pi}^{\pi}\sin(x)\cos(nx)\space\text{d}x+\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2x)\cos(nx)\space\text{d}x\right]=$$

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Ahora, como se dio cuenta ya:

Desde $\sin(x)\cos(nx)$ es una función impar y el intervalo de $[\pi,\pi]$ es simétrico con respecto al $0$, así:

$$\int_{-\pi}^{\pi}\sin(x)\cos(nx)\space\text{d}x=0$$

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$$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2x)\cos(nx)\space\text{d}x=$$

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El uso de la identidad trigonométrica $\cos(a)\cos(b)=\frac{\cos(a-b)+cos(a+b)}{2}$:

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$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos(x(n-2))+\cos(x(n+2)))\space\text{d}x=$$ $$\frac{1}{2\pi}\left[\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x(n+2))\space\text{d}x+\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x(n-2))\space\text{d}x\right]=$$

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Para la izquierda integral:

Sustituto $u=x(n+2)$$\text{d}u=(n+2)\space\text{d}x$.

Esto le da un nuevo límite inferior $u=(-\pi)(n+2)=-\pi(n+2)$ y el límite superior $u=\pi(n+2)$:

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$$\frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{n+2}\int_{-\pi(n+2)}^{\pi(n+2)}\cos(u)\space\text{d}u+\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x(n-2))\space\text{d}x\right]=$$

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Por el derecho a la integral:

Sustituto $s=x(n-2)$$\text{d}s=(n-2)\space\text{d}x$.

Esto le da un nuevo límite inferior $s=(-\pi)(n-2)=-\pi(n-2)$ y el límite superior $s=\pi(n-2)$:

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$$\frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{n+2}\int_{-\pi(n+2)}^{\pi(n+2)}\cos(u)\space\text{d}u+\frac{1}{n-2}\int_{-\pi(n-2)}^{\pi(n-2)}\cos(s)\space\text{d}s\right]=$$

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Ahora, uso: $\int\cos(x)\space\text{d}x=\sin(x)+\text{C}$

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$$\frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{n+2}\left[\sin(u)\right]_{-\pi(n+2)}^{\pi(n+2)}+\frac{1}{n-2}\left[\sin(s)\right]_{-\pi(n-2)}^{\pi(n-2)}\right]=$$ $$\frac{\sin(\pi n)}{\pi(n+2)}+\frac{\sin(\pi n)}{\pi(n-2)}=\frac{2n\sin(\pi n)}{\pi(n^2-4)}$$

SIGUIENTE:

$$\text{b}_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\sin(x)+\cos(2x))\sin(nx)\space\text{d}x=$$ $$\frac{1}{\pi}\left[\int_{-\pi}^{\pi}\sin(x)\sin(nx)\space\text{d}x+\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2x)\sin(nx)\space\text{d}x\right]=$$

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Ahora, como se dio cuenta ya:

Desde $\cos(2x)\sin(nx)$ es una función impar y el intervalo de $[\pi,\pi]$ es simétrico con respecto al $0$, así:

$$\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2x)\sin(nx)\space\text{d}x=0$$

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$$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(x)\sin(nx)\space\text{d}x=$$

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El uso de la identidad trigonométrica $\sin(a)\sin(b)=\frac{\cos(a-b)-cos(a+b)}{2}$:

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$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos(x(n-1))-\cos(x(n+1)))\space\text{d}x=$$ $$\frac{1}{2\pi}\left[\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x(n-1))\space\text{d}x-\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x(n+1))\space\text{d}x\right]=$$

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Por el derecho a la integral:

Sustituto $u=x(n+1)$$\text{d}u=(n+1)\space\text{d}x$.

Esto le da un nuevo límite inferior $u=(-\pi)(n+1)=-\pi(n+1)$ y el límite superior $u=\pi(n+1)$:

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$$\frac{1}{2\pi}\left[\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x(n-1))\space\text{d}x-\frac{1}{n+1}\int_{-\pi(n+1)}^{\pi(n+1)}\cos(u)\space\text{d}u\right]=$$

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Para la izquierda integral:

Sustituto $s=x(n-1)$$\text{d}s=(n-1)\space\text{d}x$.

Esto le da un nuevo límite inferior $s=(-\pi)(n-1)=-\pi(n-1)$ y el límite superior $s=\pi(n-1)$:

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$$\frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{n-1}\int_{-\pi(n-1)}^{\pi(n-1)}\cos(s)\space\text{d}s-\frac{1}{n+1}\int_{-\pi(n+1)}^{\pi(n+1)}\cos(u)\space\text{d}u\right]=$$

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Ahora, uso: $\int\cos(x)\space\text{d}x=\sin(x)+\text{C}$

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$$\frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{n-1}\left[\sin(s)\right]_{-\pi(n-1)}^{\pi(n-1)}-\frac{1}{n+1}\left[\sin(u)\right]_{-\pi(n+1)}^{\pi(n+1)}\right]=$$ $$\frac{\sin(\pi n)}{\pi(1-n)}+\frac{\sin(\pi n)}{\pi(1+n)}=\frac{2\sin(\pi n)}{\pi(1-n^2)}$$

CONCLUSIÓN:

• $$\text{a}_0=0$$
• $$\text{a}_n=\frac{2n\sin(\pi n)}{\pi(n^2-4)}$$
• $$\text{b}_n=\frac{2\sin(\pi n)}{\pi(1-n^2)}$$