Teorema de la identidad para funciones analíticas reales

Question

¿Cuál es la condición para que dos funciones analíticas reales sean idénticamente iguales? Sabemos que existe una buena condición ( Teorema de la identidad ) para la función holomorfa para comprobar si son iguales. ¿Cuál es su versión para las funciones analíticas reales?

Answer 1

Como referencia, sugiero Un manual de funciones analíticas reales por Krantz y Parks.

Las dos versiones del Teorema de la Identidad enunciadas por Daniel Fisher pueden unificarse a expensas de un enunciado más complicado.

Si $U$ es un dominio, y $f,g$ son dos funciones analíticas reales definidas en $U$ y si $V\subset U$ es un conjunto abierto no vacío con $f\lvert_V \equiv g\lvert_V$ entonces $f \equiv g$ . Si el dominio es unidimensional (un intervalo en $\mathbb{R}$ ), entonces basta con que $f\lvert_M \equiv g\lvert_M$ para algunos $M\subset U$ que tiene un punto de acumulación en $U$ .

Reclamación . Si $f,g$ son analíticas reales y hay un punto $p\in \mathbb R^n$ tal que el conjunto de todos los límites $$\left\{\lim_{n\to \infty} \frac{x_n-p}{|x_n-p|} : \qquad f(x_n)=g(x_n),\ x_n\to p, \ x_n\ne p\right\} \tag{1}$$ tiene un punto interior en la topología de la esfera $S^{n-1}$ entonces $f\equiv g$ .

En efecto, supongamos que $f-g$ no es idéntico a cero. Expresa su serie de Taylor en $p$ como la suma de polinomios homogéneos $P_d$ . Sea $d$ sea el grado más pequeño para el que $P_d$ no es idéntico a cero. Entonces se puede demostrar que el conjunto definido por (1) es precisamente $$S^{n-1} \cap \{ P_d =0\} \tag{2}$$ Como el conjunto cero de un polinomio tiene el interior vacío en $\mathbb R^n$ se deduce que (2) tiene el interior vacío en $S^{n-1}$ . $\quad \Box$

Cuando $n=1$ la esfera $S^0$ es un conjunto de dos puntos, por lo que cualquier subconjunto no vacío de él tiene un interior no vacío. Recuperamos así el resultado unidimensional.