¿La desigualdad de triángulo sigue el resto de las propiedades de un valor absoluto valores de subcampo?

Question

(Esto es mucho más específico que la versión de mi pregunta anterior desde hace más de un año.)

Deje $F$ ser un campo, vamos a $E$ ser ordenada subcampo de $F$, y deje $\;\; |\hspace{-0.03 in}\cdot\hspace{-0.03 in}| \: : \: F \: \to \: E$
ser tal que para todos los miembros de la $x$ de $E$, $\:$ para todos los miembros de la $y$$z$$F$,

$(1)$ $0\leq x \: \implies \: |\hspace{.01 in}x\hspace{.01 in}| = x$

$(2)$ $0\leq |y\hspace{.01 in}|$

$(3)$ $|y\cdot z\hspace{.01 in}| \: = \: |y\hspace{.01 in}| \cdot |\hspace{.01 in}z\hspace{.01 in}|$

De lo anterior se sigue que para todos los miembros de la $y$ $z$ de $\hspace{.01 in}F$, $\;\; |y+z\hspace{.01 in}| \: \leq \: |y\hspace{.01 in}| + |\hspace{.01 in}z\hspace{.01 in}| \;\;\;\;$?

Sospecho que la respuesta es no, pero no he sido capaz de llegar a cualquier contraejemplo.

Answer 1

Sea $F=\mathbb Q((X))$ el campo de la serie formal de Laurent con coeficientes racionales, $E=\mathbb Q$. Si $a=\sum_{k=n}^\infty a_k X^k$ $a_n\ne 0$, que $|a|=|a_n|$ (y que $|0|=0$). Entonces fácilmente se verifican $(1),(2),(3)$. $|1+2X|= 1$, $|-1+2X|=1$, $|(1+2X)+(-1+2X)|=|4X|=4>1+1$.