Resumen definición algebraica de dos espacios tangentes

Question

Sé que si $(M,\mathcal{A})$ es un buen colector, el doble espacio de la tangente en $p\in M$ puede ser definida como $$ T^*_pM=I_p/I_p^2, $$ where $I_p$ is the ideal of the ring $C^\infty(M)$ consisting of smooth functions that vanish at $p$ and $I_p^2$ es la segunda potencia de este ideal.

Entiendo que esta definición es útil, porque, a diferencia de otras definiciones, esto se puede generalizar a situaciones en las que usted no tiene la suave estructura $\mathcal{A}$, sin embargo esta definición es tan intuitivo tengo un tiempo difícil captarlo.

• De acuerdo a wikipedia, el producto de los ideales de la $A$ $B$ se define como $$ AB=\{a_1b_1+...a_nb_n|\ a_i\in A,b_i\in B,n\in\mathbb{N}\}, $$ supongo que el punto de esta definición es que, al exigir que las funciones se desvanecen, nos aseguramos de que las funciones de la expansión de Taylor no tiene orden cero de términos, y ya que los elementos de el producto ideal es de segundo orden expresiones, supongo que el cociente es necesario deshacerse de segundo orden de los términos.

Parece lógico, entonces, por la definición habitual podemos inferir que el contangent espacio generado por el diferencial de funciones, que son, por supuesto, el primer pedido de parte. Estoy en lo cierto en esto?

• Si estoy en lo correcto sobre el primer punto, lo que acerca más altos que los de segundo orden? No necesitamos cociente aquellos demasiado?

• Pensando en ello, mientras escribo este post, elementos de $I_p^2$ son de segundo orden expresiones algebraicas de $C^\infty(M)$, pero no son polinomios, una expansión de Taylor, sin embargo es polinomial. Creo que no te entiendo ahora.

• Esta línea de pensamiento parece dependen de las funciones que tener expansiones de Taylor. Sin embargo sé que esta definición es generalizable para variedades algebraicas así como localmente anillado espacios en general. Sin tener una estructura que permite expansiones de Taylor, ¿cómo sabemos que este capta el concepto de "funciones teniendo el mismo primer orden por el comportamiento de la $p$" para aquellos casos así?

• ¿Cómo podemos ver que este cociente espacio es finito $n$ dimensiones? Si la prueba no es especialmente agradable, yo no espero que nadie realmente a publicar aquí, pero una referencia a un colector de la teoría del libro de texto que utiliza esta definición fuertemente suficiente para contener relacionados con las pruebas sería bueno.

Agradecería cualquier respuesta, incluso si no se abordan estos puntos directamente, si que me puede ayudar a ver de forma intuitiva por qué este particular espacio cociente tiene el mismo significado que la definición habitual de la doble espacio de la tangente.

EDIT: Ya que ha habido malentendidos, quiero aclarar: En mi última viñeta estoy no preguntando cómo demostrar que la tangente/espacio cotangente es $n$ dimensiones de una $n$ dimensiones múltiples. Me estoy preguntando cómo ver que el espacio $I_p/I_p^2$ $n$ dimensiones, o como alternativa, la manera de ver que es isomorfo al espacio cotangente (definido por cualquier medio alternativo).

Answer 1

No es una respuesta completa, pero demasiado largo para un comentario.

Términos de orden mayor que $2$ será quotiented a cabo de forma automática. Recordemos que un ideal es cerrado bajo la multiplicación por el anillo de los elementos. Por lo tanto, si $x^2 \in I^2_p$, $x^{2+k}=x^2x^k\in I^2_p$ también. Intuitivamente, si $x^2=0$ en el cociente, a continuación,$x^{2+k}=x^2x^k=0x^k=0$.

Esto de hecho no se basan en plena expansión de Taylor; parece que algunos de los términos son suficientes, como en Peano forma: $f(x)=f(p)+f'(p)(x-p)+o(|x-p|^2)$. La no-trivial parte es mostrar que $o(|x-p|^2)$ es igual a $I^2_p$.

El hecho de que para $n$-dimensiones del colector el espacio de la tangente es $n$-dimensiones de la siguiente manera a partir de la tabla que nos proporciona las coordenadas de $x_1, \dots x_n$: los vectores $\frac{\partial}{\partial x_k}$ va a formar una base.