Factorizar $x+{1\over 2}x^2+{1\over 3}x^3+ \cdot\cdot$ $1-x$

Question

Quiero derivar la fórmula explícita para determinada relación recursiva a continuación:

$$a_{n+1} = (n + 1)a_n + n!$$

para$n ≥ 0$$a_0 = 0$.

Yo había explotado $EGF$, lo que resulta en:

$$g(x)\cdot(1-x) = x+{1\over 2}x^2+{1\over 3}x^3+ \cdot\cdot$$

Por lo tanto para derivar la fórmula explícita de $a_n$, estoy pensando en cómo puedo administrar el $RHS$ a ser factorizados por $1-x$, de modo que puedo tener $a_n$ correspondiente a $x^n/n!$

Algún consejo para seguir adelante?

Yo aún no tomó el álgebra abstracta clase en la que me aparentemente supongo que yo podría tener más posibilidades de ser familiar para el polinomio de la serie.

Answer 1

Usted puede abordar de esta manera:

$fn-(n-1)!=nf{n-1}$

$f{n-1}-(n-2)!=(n-1)f{n-2}$

Wraping ellos togather...

$fn-(n-1)!-n(n-2)!=n(n-1)f{n-2}$

Va la misma cadencia...

$fn-(n-1)!-n(n-2)!-n(n-1)(n-3)!=n(n-1)(n-2)f{n-3}$

Puede figurar el resultado terminal por su cuenta desde aquí.

Answer 2

Podemos obtener los números de $a_n (n\geq 1, a_0=0)$ mediante el cálculo de los coeficientes de la exponencial de generación de función \begin{align*} g(x)=a_1x+a_2\frac{x^2}{2!}+a_3\frac{x^3}{3!}+a_4\frac{x^4}{4!}+\cdots \end{align*}

Obtenemos \begin{align*} \color{blue}{g(x)}&=\left(x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+\cdots\right)\frac{1}{1-x}\\ &=\left(x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+\cdots\right)\left(1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots\right)\tag{1}\\ &=x+\left(1+\frac{1}{2}\right)x^2+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)x^3 +\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)x^4+\cdots\tag{2}\\ &=\sum_{n=1}^\infty H_nx^n\tag{3}\\ &=\sum_{n=1}^\infty\color{blue}{n!H_n}\frac{x^n}{n!}\tag{4} \end{align*}

Llegamos a la conclusión de que los números se $$\color{blue}{a_n=n!H_n \qquad n\geq 1}$$.

Comentario:

• En (1) utilizamos la serie geométrica de expansión.

• En (2) se multiplica la serie de la mano derecha y recoger los términos con el mismo poder de $x$. Observamos que los coeficientes son \begin{align*} 1,\,1+\frac{1}{2},\,1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3},\,1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4},\cdots \end{align*} que son los armónicos de los números marcados con $H_n$.

• En (3) se utiliza la notación sigma para mayor brevedad.

• En (4) escribimos la serie exponencial de la generación de series para ver mejor los coeficientes $a_n$.

Nota: Si escribimos la recursividad para $a_n$ \begin{align*} \frac{a_{n+1}}{(n+1)!}&=\frac{a_n}{n!}+\frac{1}{n+1}\qquad\qquad n\geq 1\\ a_0&=0 \end{align*} a continuación, la solución de $a_n=n!H_n$ puede ser visto fácilmente.