¿Existe un ninguna parte diferenciable, por todas partes continuo, monótono en algún lugar de la función?

Question

¿Hay una en ninguna parte diferenciable pero continuo por todas partes función monótona en un intervalo pequeño sin embargo pequeño es?

Hasta ahora he visto sólo la función de Weierstrass y parece ser oscilante por todas partes.

Answer 1

Es bien sabido que si $f : [a; b] \to R$ va en aumento, entonces f es diferenciable a.e. y $\int_a^bf^{'}(x)dx \le f(b)-f(a)$(see, for example,

http://www.math.ntnu.no/~quigg/4225/notes/differentiation.pdf, teorema 1.6).

Por lo tanto, no existe una función no diferenciable pero continuo por todas partes y monótona en un intervalo pequeño.