Suma de Series infinitas $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{2n+1}}$

Question

Muestran que:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{2n+1}} = \ln \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$$

Yo pude demostrar convergencia. (No necesito mostrar que esto converja). Sin embargo yo no pude figura cómo mostrar el valor.

Answer 1

$$\begin{align} \sum{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n} &= -\ln \left(1-y\right) \hspace{15pt} {\textit{apply }} \hspace{5pt} y=\frac{1}{x^2}\ \sum{n=1}^{\infty} \frac{1}{n x^{2n}} &= -\ln \left(1-\frac{1}{x^2}\right) \ \sum{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{2n+1}} &= \frac{1}{2}\sum{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{2n}} = -\frac{1}{2}\ln \left(1-\frac{1}{4}\right)\ \end{align} $$

Hacer el resto para simplificar y conseguir lo que deseas.

Answer 2

Hay varias opciones - aquí está uno: a través de no trabajo hasta el final.

Escriba %#% $ #%

Entonces $$f(t)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n 2^{2n+1}}$ $

Que es una serie geométrica...

Answer 3

Comentario de Artin casi responde a la pregunta.

Tratas de $\sum_{n=1}^\infty\frac{y^n}{n}=-ln(1-y)$

Sólo observar que la serie realmente es $$\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\frac{\left(1/4\right)^n}{n}$ $ como esta es la tarea, también, supongo, debe vigilar comprobar el radio de convergencia...