Cómo resolver esta ecuación simultánea de $3$ variables.

Question

He atascado en este sistema de ecuaciones. ¿Ninguna pista cómo empezar?

$$\begin{eqnarray} x+y+z &=&a+b+c\tag{1} \ ax+by+cz &=&a^{2}+b^{2}+c^{2}\tag{2} \ ax^{2}+by^{2}+cz^{2} &=&a^{3}+b^{3}+c^{3}\tag{3} \end{eqnarray} $$

Encontrar el valor de $x,y,z$ es en forma de $a,b$ y $c$. Quiero saber los pasos de solución.

Answer 1

Voy a resolver es el uso simultáneo de eqn método como eliminación,sustitución,de la cruz-la multiplicación .NINGÚN conocimiento de matrices

Por la inspección vemos que $(x,y,z)=(a,b,c)$ es una solución del sistema dado

$$ \begin{array}{l} \text{Eq. 1}\qquad x+y+z=a+b+c \\ \text{Eq. 2}\qquad ax+by+cz=a^{2}+b^{2}+c^{2} \\ \text{Eq. 3}\qquad ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=a^{3}+b^{3}+c^{3}. \end{array} \tag{0}$$

La otra solución se puede encontrar de la siguiente manera. Resolver La Ecuación. 1 para $z$. Multiplicar original Eq. 1 $a$, restar Eq. 2 y resuelve $z$. Esto se traduce en $$ \begin{array}{l} z=a+b+c-x-y, \end{array} \etiqueta{1}$$

$$ \begin{array}{l} z=\frac{b-a}{a-c}y+\frac{ab+ac-b^{2}-c^{2}}{a-c} . \end{array} \etiqueta{2}$$

Equiparar los lados de la parte derecha de $(1)$ $(2)$

$$ \begin{array}{l} \frac{b-a}{a-c}y+\frac{ab+ac-b^{2}-c^{2}}{a-c}=a+b+c-x-y, \end{array} \etiqueta{3}$$

y resolver para $x$

$$ x=\frac{c-b}{c}y+\frac{-ac+b^{2}+a^{2}-bc}{c}. \etiqueta{4}$$

Sustituto $x,z$$(0)$, Eq. 3, el uso de $(4)$ $(2)$

$$ un\left( \frac{c-b}{c}y+\frac{-ac+b^{2}+a^{2}-bc}{c}\right) ^{2}+^{2}+c\left( \frac{b}{c}y+\frac{ab+ac-b^{2}-c^{2}}{c}\right) ^{2}=a^{3}+b^{3}+c^{3}. \etiqueta{5}$$

La solución para $y$ obtenemos$^1$ la solución de $y=b$ y la solución

$$y=\frac{B}{D},\tag{6}$$

donde

$$ B=-2a^{3}c+2a^{3}b-a^{2}b^{2}-a^{2}bc+4a^{2}c^{2}-2acb^{2}-2ac^{3}+ab^{3}-abc^{2}+2bc^{3}+b^{3}c-c^{2}b^{2}$$ $$ D=a^{2}c+ac^{2}-6abc+a^{2}b+bc^{2}+ab^{2}+b^{2}c $$

Finalmente sustituto $y=b$$y=B/D$$(4)$$(2)$. Tenemos las soluciones $(x,z)=(a,c)$, y

$$(x,z)=\left(\frac{A}{D},\frac{C}{D}\right),\tag{7}$$

donde

$$ A=a^{3}c+a^{3}b-2a^{2}bc-a^{2}b^{2}-a^{2}c^{2}+2ac^{3}-abc^{2}+2ab^{3}-acb^{2}-2bc^{3}-2b^{3}c+4c^{2}b^{2} $$

$$ C=2a^{3}c-2a^{3}b+4a^{2}b^{2}-a^{2}c^{2}-a^{2}bc-acb^{2}-2ab^{3}+ac^{3}-2abc^{2}+bc^{3}+2b^{3}c-c^{2}b^{2}. $$

Así que las dos soluciones de $(0)$: $$(x,y,z)=(a,b,c)\qquad\text{and }\qquad(x,y,z)=\left(\frac{A}{D},\frac{B}{D},\frac{C}{D}\right).$$

--

$^1$ Eq. $(5)$ es equivalente a

$$\begin{equation*} \left( cb^{2}+c^{2}b+ac^{2}+ca^{2}+ab^{2}-6acb+ba^{2}\right) (y-b)\left( y-\frac{B}{D}\right) =0. \end{ecuación*}$$

Answer 2

Asumir que $(a,b,c)\ne \lambda(1,1,1)$ y poner $x:=a+u$, $>y:=b+v$, $>z:=c+w$. Luego $(1)$ y $(2)$ cantidad en el sistema $$\eqalign{\phantom{a}u+\phantom{b}v+\phantom{c}w&=0\cr a u+ bv+cw&=0\cr}$ $ con la solución $$u=t(b-c),\quad v=t(c-a),\quad w=t(b-c)\qquad(t\in{\mathbb R})\ .$ $ esto en la ecuación de $(3)$: $$a(a+u)^2+b(b+v)^2+c(c+w)^2=a^3+b^3+c^3$ $ y obtener una ecuación cuadrática para $t$ con una solución obvia $t=0$ y una segunda solución % $ $$t={2(a-b)(b-c)(c-a)\over ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-6abc}\ .\tag{4}$casos donde el denominador en $(4)$ es igual a cero tienen que tratarse por separado.

Answer 3

Esto es un poco interesante pregunta. Permítanme tratar y proporcionar un poco de motivación para el feo de los valores que Americo calculado.

Permítanme asumir que $a\neq b, b \neq c, c \neq a $. Nos gustaría que se ocupan de este tema por separado.

Tenga en cuenta que las 2 primeras ecuaciones dar la ecuación de un plano. Por lo tanto, su intersección es una recta, la cual se puede calcular. Las 2 primeras ecuaciones son equivalentes a $$ \begin{array} {llll} &&(x-a) &+ &(y-b) &+ &(z-c) &= 0\\ &a&(x-a) &+b&(y-b) & +c&(z-c) & = 0 \\ \end{array}$$

Desde

$$ \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a\\b\\c\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c-b\\a-c\\b-a\\ \end{pmatrix}, $$

sabemos que la línea está dada por $\frac{x-a}{c-b} = \frac{ y-b}{a-c} = \frac{z-c}{b-a} = k $. (Esto es válido debido a que el denominador nunca es 0.) Esto es equivalente a $x=a + k(c-b), y = b+k(a-c) , z = c+k(b-a)$.

A continuación, nos interesa cuando esta línea se cruza con el elipsoide $ax^2 + by^2 + cz^2 = a^3 + b^3 + z^3 $, lo que sucede en la mayoría de los 2 lugares. (Por supuesto, un lugar es $k=0$, lo que conduce a la solución de $x=a, y=b, z=c$.) Utilizando la ecuación de la línea de arriba, tenemos que

$$\begin{array}{l l l l} ax^2 &= a^3 & + 2a^2k(c-b) &+k^2 a(c-b)^2 \\ by^2 &= b^3 & + 2b^2k(a-c) & + k^2 b(a-c)^2 \\ cz^2 &= c^3 & + 2c^2k(b-a) & + k^2 c(b-a)^2 \\ \end{array} $$

Resumiendo estas tres ecuaciones, y el uso de la última ecuación dada, obtenemos que

$$-2k(a-b)(b-c)(c-a) + k^2 (a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b - 6abc) = 0. $$

Una solución es $k=0$ como se ha mencionado, y la otra es

$$ k = \frac{ 2 (a-b)(b-c)(c-a) } { a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b - 6abc} .$$

Con este valor de $k$, obtenemos la respuesta que Americo calculado anteriormente.

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Ahora, ¿qué sucede cuando $a=b$ o $b=c$ o $c=a$? Curiosamente, esto obliga a que sólo 1 de solución, es decir,$k=0$. También puede obtener este resultado mediante la sustitución de $a=b$ en el valor de $k$ y mostrando que el numerador es 0. La interpretación geométrica es que la línea se convierte tangencial a la elipsoide.

Del mismo modo, si $a=b=c$, entonces sólo hay 1 solución.