Tengo el siguiente producto
$$\frac{1}{6}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{-x}{2}\right)^n\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_nx^{n+2}}{n!}$$
Donde $a_n$ es un coeficiente arbitrario. Si me factor $x^2$ a partir de la segunda potencia de la serie me puede volver a escribir como un Producto de Cauchy
$$\frac{x^2}{6}\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^ka_{n-k}}{2^k(n-k)!}x^n$$ Ahora esto se convierte en $$\frac{1}{6}\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^ka_{n-k}}{2^k(n-k)!}x^{n+2}$$
Pero estoy confundido ¿cómo volver a indexar la convolución
Es la suma vuelvan a indexar
$$\frac{1}{6}\sum_{n=2}^{\infty}\sum_{k=2}^{n}\frac{(-1)^ka_{n-k}}{2^{k-2}(n-k)!}x^n$$
EDITAR:
Hay una imagen más grande de este problema. Tengo el siguiente que quiero combinar como una suma única de alguna manera (perdón por el juego de palabras):
$$\frac{1}{1+\frac{x}{2}} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_nx^n}{n!}-\frac{1}{6(1+\frac{x}{2})} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_nx^{n+2}}{n!} $$
Sé que puedo volver a escribir la primera fracción, $\frac{1}{1+\frac{x}{2}}$ $\frac{1}{1-\frac{-x}{2}}$ que se puede expresar como una potencia de la serie $$\frac{1}{1-\frac{-x}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^n}{2^n}$$
La reescritura de la diferencia y de la toma de Cauchy Producto de ambos términos rendimientos
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^n}{2^n}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_nx^n}{n!}-\frac{1}{6}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^n}{2^n}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_nx^{n+2}}{n!} $$
$$\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^ka_{n-k}}{2^k(n-k)!}x^n-\frac{1}{6}\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^kb_{n-k}}{2^k(n-k)!}x^{n+2}$$
$$\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^ka_{n-k}}{2^k(n-k)!}x^n-\frac{1}{6}\sum_{n=2}^{\infty}\sum_{k=2}^{n}\frac{(-1)^kb_{n-k}}{2^{k-2}(n-k)!}x^n$$ ¿Cómo proceder a partir de ahí?
