Es una solución correcta a teorema del resto Chino

Question

Dado $m_0,m_1,\cdots, m_{r-1} \in R$ aquí $R$ es un dominio euclídeo. queremos encontrar a $f$ que satisface $f \cong v_1 $mod $m_0$, $f \cong v_2 $mod $m_1$ $f \cong v_{r} $mod $m_{r-1}$.

Mi Intento :vamos a reescribir estas ecuaciones como , $f = v_1 + m_0t_1$,$f = v_2 + m_1t_2$ y así en $f = v_{r} + m_{r-1}t_{r}$. Así que ahora tengo el sistema de ecuaciones , ahora puedo usar el método de eliminación de gauss para encontrar $f$. Siempre dar una solución válida?

Edit : Vamos a $R = \mathbb{Z}$, en este caso mientras se está resolviendo el sistema de ecuaciones yo podría tener un problema debido a que en este proceso puede necesitar para multiplicar una fila con $\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}$ no $\mathbb{Z}$. Así que yo creo ( no estoy seguro) que no podemos usar eliminación gaussiana aquí.

Answer 1

Tienes razón, podemos encouter problemas, incluso para $\Bbb Z$. Por ejemplo, vamos a $r=3$, $m_0=2$, $m_1=3$, $m_2=5$, $v_1=1$, $v_2=2$, y $v_3=3$. Luego tenemos las ecuaciones $f=1+2t_1$, $f=2+3t_2$, y $f=3+5t_3$. La eliminación de $f$ obtenemos las ecuaciones de $2t_1=1+3t_2$$3t_2=1+5t_3$. La eliminación de $3t_2$ obtenemos una ecuación de $2t_1-1=1+5t_3$. Escoja su solución, $t_1=1$, $t_3=0$. Pero entonces no existe ningún entero $t_2$ tal que $2=2t_1=1+3t_2$.