Vamos $M>0$, $\{f_n\}\subset L^2([0,1])$ tal que $\int_0^1 |f_n|^2 dm\leq M$ $f_n(x)\to 0$ $n\to\infty$ en casi todas partes, $m$ es la medida de Lebesgue. Demostrar que para todos los $0<p<2$, $$\lim_{n\to\infty}\int_0^1|f_n|^pdm =0.$$
Por favor me ayudan a resolver este problema, tengo un preliminar en el análisis de pronto. Cualquier idea será bienvenida.
Cosas en las que creo que debemos utilizar:
Desde $m([0,1])<\infty$, $f_n$ son medibles (desde $f_n$$L^2$) y $f_n\to 0$ (punto sabiamente).e., podemos aplicar Egorova del Teorema: Para $\epsilon>0$, existe un conjunto medible $A$ $m(A)<\epsilon$ $f_n\to 0$ uniformemente en $[0,1]\setminus A$. Ahora, para todos los $x \in [0,1]\setminus A$, existe un $N$ número natural tal que para todos los $n\geq N$ tenemos $|f_n-0|<(\epsilon/2)^{1/p}$. Entonces, para $n\geq N$: $$\int_0^1|f_n|^pdm =\int_{[0,1]\setminus Un}|f_n|^pdm+\int_A |f_n|^pdm \\ <(\epsilon/2)\,\, m([0,1]\setminus A)+\int_A |f_n|^pdm \\ \leq (\epsilon/2) \,\,m([0,1])+\int_A |f_n|^pdm\\ = \frac{\epsilon}{2}+\int_A |f_n|^pdm\\ $$ También tenga en cuenta que $|f_n|^p\in L^{2/p}([0,1])$, que es debido a $f_n^p$ es medible, y por lo tanto,$|f_n|^p$, y $$\|\,|f_n|^p\|_{2/p}^{p/2}=\int_0^1 \left(|f_n|^p\right)^{2/p}\,dm=\int_0^1 |f_n|^2 dm\leq M<\infty $$.
