Trayectoria de muestra del movimiento browniano dentro de la distancia épsilon de la función continua

Question

Dada una función continua $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ , $f(0)=0$ ¿Cómo se puede demostrar que $P(\underset{0\leq t\leq1}{\sup}\left|B_{t}-f(t)\right|<\varepsilon)>0$ , donde $P$ es la medida de probabilidad bajo la cual $(B_{t})_{t\geq0}$ es un movimiento browniano estándar.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Dejemos que $f: [0,1] \to \mathbb{R}$ sea una función continua. Dado que $[0,1]$ es compacto, $f$ es uniformemente continua en $[0,1]$ es decir, podemos elegir $n \in \mathbb{N}$ tal que

$$|f(s)-f(t)| < \frac{\varepsilon}{2} \quad \text{for all $ |s-t| \leq \frac{1}{n} $.}$$

Si ponemos $t_j := j/n$ para $j=0,\ldots,n$ entonces

$$\begin{align*} \mathbb{P} \left( \sup_{0 \leq t \leq 1} |B_t-f(t)| <\varepsilon\right) &\geq \mathbb{P}\left( \forall j=0,\ldots,n-1: \sup_{t \in [t_j,t_{j+1}]} |B_t-f(t_j)| < \frac{\varepsilon}{2 (n-j)} \right) \\ &= \mathbb{P}\left( \prod_{j=0}^{n-1} 1_{A_j} \right) \end{align*}$$

para

$$A_j := \left\{\sup_{t \in [t_j,t_{j+1}]} |B_t-f(t_j)| < \frac{\varepsilon}{2(n-j)} \right\} \in \mathcal{F}_{t_{j+1}}.$$

Se deduce de la propiedad de Markov (del movimiento browniano) y de la propiedad de la torre (de la expectativa condicional) que

$$\begin{align*} \mathbb{P}\left( \prod_{j=0}^{n-1} 1_{A_j} \right) &= \mathbb{P} \left[ \left(\prod_{j=0}^{n-2} 1_{A_j} \right) \mathbb{P}^{B_{t_{n-1}}} \left(\sup_{t \in [0,1/n]} |B_t-f(t_{n-1})| < \frac{\varepsilon}{2} \right) \right]. \end{align*}$$

Basta con demostrar que

$$\mathbb{P}^x \left( \sup_{t \in [0,1/n]} |B_t-f(t_{n-1})| < \frac{\varepsilon}{2} \right)>c>0 \tag{1}$$

para todos $x \in B(f(t_{n-1}),\varepsilon/4)$ . (Entonces podemos iterar el procedimiento y obtener la cota inferior deseada). Para ello, observamos que

$$\begin{align*} \mathbb{P}^x \left( \sup_{t \leq 1/n} |B_t-f(t_{n-1})| < \frac{\varepsilon}{2} \right) &= \mathbb{P} \left( \sup_{t \leq 1/n} |B_t+x-f(t_{n-1})| < \frac{\varepsilon}{2} \right) \\ &\geq \mathbb{P} \left( \sup_{t \leq 1/n} |B_t| < \frac{\varepsilon}{4} \right) \end{align*}$$

para todos $x \in B(f(t_{n-1}),\varepsilon/4)$ . Como $M_{1/n} := \sup_{t \leq 1/n} B_t \sim |B_{1/n}|$ (por el principio de reflexión), $(1)$ sigue.

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Observación: La asintótica de la probabilidad $\mathbb{P} \left( \sup_{t \in [0,1]} |B_t-f(t)| < \varepsilon \right)$ como $\varepsilon \to 0$ es objeto de la llamada estimaciones de bolas pequeñas .

Answer 2

He aquí una prueba (se trata de una combinación de un ejercicio de cálculo estocástico de Steele, y un lema que aprendí de 'Brownian motion and diffusion processes' de Freedman).

Se da el caso de que $P( \sup_{0 \leq s \leq 1} |B_s| \leq \epsilon) > 0$ para cualquier $\epsilon > 0$ . He escrito una prueba aquí: Cómo demostrar que $P( \sup_{0 \leq s \leq 1} |B_s| \leq \epsilon) > 0$ para cualquier $\epsilon > 0$ ?

Suponemos que podemos escribir: $f(t) = \int_0^t h(s) ds$ . (No creo que esto sea una gran suposición, desde el punto de vista moral).

Definimos un proceso estocástico por $Z_t = B_t - \int_0^t h(s) ds$ .

Llame a $(\Omega, F, P)$ el espacio de probabilidad subyacente al proceso $(B_t)_{0 \leq t \leq 1}$ .

Entonces el teorema de Girsanov (Steele,Teorema 13.2) nos dice que hay una Martingale continua $0 < M_t$ para que en el marco de la medida $Q$ en $\Omega$ definido por $Q(A) = E_P[ 1_A M_1]$ , $Z_t$ se convierte en un movimiento browniano. Es decir, la distribución en el espacio de la trayectoria $C[0,T]$ inducido por el uso de $Z_t$ para impulsar la medida $Q$ es la medida estándar de Wiener.

Dejemos que $A = \{ \sup_{ 0 \leq t \leq 1} | Z_t | \leq \epsilon \}$ . Queremos demostrar que $P(A) > 0$ .

A partir del argumento vinculado, sabemos que $Q(A) > 0$ porque bajo $Q$ , $Z_t$ es un movimiento browniano. Dado que $Q(A) = E_P[1_A M_T]$ , $P(A) = 0$ es imposible.

Desde $A = \{ \sup_{ 0 \leq t \leq 1} | Z_t | \leq \epsilon \} = \{ \sup_{ 0 \leq t \leq 1} | B_t - f(t) | \leq \epsilon \}$ se deduce que $P( \sup_{ 0 \leq t \leq 1} | B_t - f(t) | \leq \epsilon) > 0$ para cualquier $\epsilon$ .

En realidad podemos conseguir algo mejor que lo que pediste siempre que tengamos un microscopio lo suficientemente bueno, podemos encontrar $f(t)$ hasta $1/n$ precisión para cualquier $n$ en cualquier trayectoria de movimiento browniano casi seguro...

1. Definir $X_t^{(a,b)} = (b - a)^{-1/2} ( B_{a + t(b - a)} - B_a )$ para $0 \leq t \leq 1$ . Se trata de un movimiento browniano en $[0,1]$ debido a la propiedad de Markov y al escalamiento.

2. Dejemos que $a_k = 2^{-k - 1}$ y $b_k = 2^{-k}$ , para $k = 0,1,2,3 \ldots$ . Entonces los procesos $X_t^{(a_k,b_k)}$ son independientes. (Esto se deduce de la propiedad de incrementos independientes del movimiento browniano).

3. Además, por el trabajo anterior, $P ( \sup_{0 \leq t \leq 1} |X_t^{(a_k,b_k)} - g(t)| \leq \epsilon) = P( \sup_{0 \leq t \leq 1} |B_t - g(t) | \leq \epsilon) > 0$ para cualquier $\epsilon$ .

4. Nombre $A_k = \{ \sup_{0 \leq t \leq 1} |X_t^{(a_k,b_k)}| \leq \epsilon \}$ . Estos son independientes, y a partir de 4., todos tienen la misma probabilidad. Por lo tanto, $\Sigma P(A_k) = \infty$ . A partir del lema de Borel-Cantelli, sabemos que $a.s$ infinitamente muchos de los $A_k$ ocurrir. En concreto, ocurre uno de ellos. (Pero tal vez se quiera observar que ocurren arbitrariamente cerca del tiempo cero, por lo que cualquier momento del tiempo será suficiente para observar algo que se parezca a nuestra función).

5. Configurar $\epsilon = 1/n$ y la intersección de todos los $n$ te da lo que yo reclamaba.

¡Realmente alucinante!

Answer 3

Siento no poder dejar esto como comentario. Como primera idea, puedes aproximar la función continua $f$ con una función continua lineal a trozos (discretizar el intervalo $[0,1]$ . Y en cada subintervalo $[t_k, t_{k-1}]$ , puedes utilizar un puente browniano para calcular la probabilidad y demostrar que es positiva.