(a): Pensar en un anillo de $R$ que no es una parte integral de dominio, y deje $I$ ser el cero ideal, es decir,$I=\{0\}$.
(b): Recuerde que, dado un anillo de $S$, podemos decir que un elemento $y\in S$ es una unidad cuando hay algo de $z\in S$ tal que $yz=1_S$ (el símbolo $1_S$ denota la multiplicativo elemento de identidad de $S$).
El polinomio anillo de $R[x]$ se compone de polinomios cuyos coeficientes son los elementos de $R$:
$$a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n,$$
donde $n$ puede ser cualquier número entero mayor que $0$, y cada una de las $a_i$'s vienen de $R$. Son sumados y multiplicados como cualquier otro polinomios que hayas trabajado antes.
Claramente, si $a\in R$ es una unidad (por lo que hay algunos $b\in R$ tal que $ab=1_R$), luego el polinomio
$$a+0x+0x^2+\cdots$$
es una unidad en $R[x]$, debido a que
$$\begin{align*}
(a+0x+0x^2+\cdots)(b+0x+0x^2+\cdots)&=ab+(a0+0b)x+(a0+0+0b)x^2+\cdots\\
&=ab+0x+0x^2+\cdots\\
&=1_R+0x+0x^2+\cdots
\end{align*}$$
y $1_R+0x+0x^2+\cdots$ es el mutliplicative identidad de $R[x]$. (Normalmente, no te molestes en escribir todas estas $0x^i$ términos, y sólo pensar en elementos de $R$ como también ser elementos de $R[x]$. Estos elementos de $R[x]$ se llama constante de polinomios.)
La pregunta es si puede haber unidades de $R[x]$, otras de las unidades de $R$ a sí mismos. Por lo tanto, estamos buscando para los no-constante de polinomios (es decir, los polinomios con algunos $x$'s) que puede ser multiplicado por otros polinomios para producir $1$. Por simplicidad, que echara un vistazo a lineal de los polinomios, es decir, los polinomios con una $x$ plazo, pero no $x^2,x^3,\ldots$ términos. Por supuesto, no hay garantía de que si no existen constante polinomios que son las unidades, que cualquiera de ellos será lineal; pero este es un buen lugar para empezar.
Así, supongamos que tenemos nuestro anillo de $R$, y los elementos de $a,b\in R$ ( $b\neq 0$ , por lo que estamos buscando a un no-constante polinomio) tales que el polinomio $a+bx\in R[x]$ es una unidad. De hecho, vamos a hacer un mayor simplificación de paso: suponga que el $a+bx$ es su propio inverso, o en otras palabras, que
$$(a+bx)^2=a^2+2abx+b^2x^2=1.$$
(De nuevo, no sabemos de que, incluso si existen polinomios que son las unidades, y son lineales, lo que iban a hacer esto; pero, de nuevo, es una primera cosa a tener en cuenta. Recuerde, los matemáticos son perezosos.)
Esto sólo puede suceder si $2ab=0$$b^2=0$$R$. Puede usted pensar en un anillo de $R$ $a,b\in R$ la satisfacción de estas relaciones?
