Egorova del teorema de la aplicación

Question

Problema

Deje $\{f_k\}_{k \in \mathbb N}$ ser una secuencia de funciones medibles definido en $E \subset \mathbb R^n$ $E$ medibles y $|E|<\infty$, de tal manera que $f_k \to 0$.e.. Muestran que existe una larga $\{f_{k_j}\}_{j \in \mathbb N}$ tal que $\sum_{j \in \mathbb N} |f_{k_j}|<\infty$.e.

He pensado en usar Egorova del teorema, por lo que para cada una de las $\epsilon_n=\dfrac{1}{n}$, existe un subconjunto cerrado $F_n \subset E$ $|E \setminus F_n|<\epsilon_n$ que $f_n \rightrightarrows 0$$F_n$. Para cada una de las $j$, que puedo coger $n_j$$|f_{n_j}|<\dfrac{1}{2^j}$$F_j$, y puede también recoger $n_1<n_2<...<n_j<...$

Es fácil ver que el complemento del conjunto a $F=\bigcup_{j \in \mathbb N} F_j$ tiene medida cero. El problema es que no puedo afirmar $|f_{n_j}|<\dfrac{1}{2^j}$$F$, pero sólo en $F_{n_j}$. Puedo asegurar que este en la intersección de las $\bigcap_{j \in \mathbb N} F_j$, pero el complemento de este conjunto no es de medida cero, entonces la serie no es convergente en casi todas partes.

Cualquier sugerencias para resolver este problema, sería muy apreciado.

Answer 1

Construcción $F_n$ como lo hizo, pero luego deje $F_n' = F_1 \cup \dots \cup F_n$. A continuación, tenemos de nuevo $|E \setminus F_n'| < \epsilon_n$$f_n \rightrightarrows 0$$F_n'$. Por otra parte, $F_1' \subset F_2' \subset \dots$ que será útil más adelante. Elija el $n_j$s tal que $|f_{n_j}| < 2^{-j}$ $F_{j}'$ lugar. Ahora vamos a configurar $F = \bigcup_n F_n'$ lugar.

Sugerencia 2: Si usted hace eso, entonces para cualquier fija $x \in F$, no se puede garantizar la $|f_{n_j}(x)| < \frac{1}{2^j}$ por cada $j$, pero se puede garantizar para todos, pero un número finito de $j$...

Answer 2

La convergencia de una.e. en un número finito de medir el espacio implica la convergencia en medida. Así que podemos optar $k_1$ tal que $k\geqslant k_1$ implica $\mu\left(\left\{x:|f_k(x)|> 2^{-k}\mu(E)^{-1}\right\}\right)<2^{-k}\mu(E)^{-1}$, y de manera inductiva $k_j\geqslant k_{j-1}$ tal que $k\geqslant k_j$ implica $\mu\left(\left\{x:|f_k(x)|>2^{-k_j}\mu(E)^{-1}\right\}\right)<2^{-k_j}\mu(E)^{-1}$$k_j\stackrel{j\to\infty}\longrightarrow\infty$. Podemos suponer WLOG que $2^{-k_1}\mu(E)^{-1}<1$. Por lo tanto \begin{align} \sum_{j=1}^\infty |f_{k_j}| &\leqslant \sum_{j=1}^\infty 2^{-k_j}\mu(E)^{-1}\mu(E)+2^{-k_j}\mu(E)^{-1}\\ &\leqslant \mu(E)^{-1}\sum_{j=1}^\infty 2^{-k_j}\\ &\leqslant \mu(E)^{-1}\\ &<\infty. \end{align}