Posibles Duplicados:
$T$ es continua si y sólo si $\ker T$ está cerradoDeje $T: X\to \mathbf{R}$ ser lineal. Supongamos que $X$ es un espacio de Banach. Quiero mostrar que la $T$ es continua si y sólo si $\ker T $ es cerrado.
Mi Intento.
$(\Rightarrow)$ Supongamos $T$ es continua. Entonces si $x_n\to x$,$T(x_n)\to T(x)$. Deje $x_n \in \ker T$. A continuación,$T(x_n) = 0$. El uso de continuidad, $$ T(x) = \lim_{n\to \infty} T(x_n) = 0.$$ Hence $x\in \ker T$ and thus $\ker T$ es cerrado.
$(\Leftarrow)$ Supongamos $T$ no es continua. Por lo $T$ es no acotada. es decir, $\exists$ una secuencia $x_n$ tal que $T(x_n) \to \infty$$n\to \infty$. Deje $a\notin \ker T$. A continuación, la definición de $$x_n' = a - \frac{T(a)}{T(x_n)}x_n ,$$ it is clear that $T(x_n') = 0$ and so $x_n'\en \ker T$. Also $x_n' \\noen \ker T.$ So $\ker T$ is not closed. Hence $\ker T$ closed implies that $T$ es continua.
He abordado este correctamente a la pregunta? Hay otras maneras de acercarse a ella?
- $T$ es continua si y sólo si $\ker T$ está cerrado (2 respuestas )
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Se ve bien, y es el argumento típico, excepto por dos cosas, uno de los cuales es menor de edad:
En el primer argumento, después de decir "vamos a $x_n\in\text{Ker}\,T$", también es necesario añadir "e $x_n\rightarrow x$". La frase anterior no dar a usted.
El más atroz de error: En el segundo argumento, es necesario indicar que existe una limitada secuencia $(x_n)$ tal que $|T(x_n)|\rightarrow\infty$; es decir, hay una secuencia $(x_n)$ $\Vert x_n\Vert \le 1$ (por ejemplo) con $|T(x_n)|\rightarrow \infty$. (Y es posible que desee para justificar esta; sin embargo, es casi automática a partir de la definición de acotamiento.) Sin el acotamiento de la $x_n$, no se garantiza que la secuencia de $(x_n')$ converge a $a$.
Hay un poco de la ruta más rápida para la siguiente implicación: $\{0\}$ es cerrado en $\Bbb R$, por lo que, desde el $T$ es continua, $T^{-1}(\{0\})$ es cerrado en $X$.
Claramente si $f$ es continua, entonces su núcleo es conjunto cerrado. por el contrario, asumir que $f\neq0$ y $f^{-1}(\{0\})$ es un conjunto cerrado. Recoger algunas $e$$X$$f(e)=1$. Supongamos que por la vía de la contradicción $||f||=\infty$. Entonces existe una secuencia $\{x_n\}$ $X$ $||x_n||=1$ $f(x_n)\ge n$ todos los $n$. Tenga en cuenta que la secuencia de $\{y_n\}$ definido por $y_n=e-\frac{x_n}{f(x_n)}$, satisface $y_n\in f^{-1}(\{0\})$ todos los $n$$y_n\rightarrow e$. Desde el set $f^{-1}(\{0\})$ es cerrado, se sigue que $e$ debe pertenecer a la misma y, en consecuencia, $f(e)=0$ lo cual es una contradicción. Por lo tanto $f$ es una funcional lineal continua.
