Yo afirmación de que la secuencia de $s_n=\sum_{k=0}^{n-1} f(kq)$ es acotado, para un determinado $q$, si la hipótesis se cumple:
- $f$ $p$- periódico, y su integral sobre toda una época se desvanece,
- $q$ es un irracional múltiples de $p$,
- la irracionalidad de la medida de $q/p$ es finito (es decir, $q/p$ ha irracionalidad de medida $\mu$),
- $f$ $C^k$ algunos $k>\mu$.
En particular, si $f$$C^3$, la secuencia está delimitado por casi todos los $q$, incluyendo todos los $q$ donde $q/p$ es algebraico pero irracional (por el Thue-Siegel-teorema de Roth).
Primero de todo, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $f$ periodo $2\pi$. Como $\mu \geq 2$ para todos los irracionales $q$, sólo necesitamos considerar los $f$ al menos $C^3$. En particular, esto significa $f$ es absolutamente convergente serie de Fourier $f(x)=\sum_{-\infty}^\infty a_m e^{imx}$. Desde $\int_0^{2\pi} f = 0$, $a_0=0$. Ahora,
$$
s_n=\sum_{k=0}^{n-1} f(kq)= \sum_{k=0}^{n-1} \sum_{m=-\infty}^\infty a_m e^{imkq}=\sum_{m=-\infty}^\infty a_m \left(\sum_{k=0}^{n-1}e^{imkq}\right)
$$
(donde hemos usado convergencia absoluta para intercambiar el orden de adición).
Como $a_0=0$ $q/2\pi$ es irracional, la razón común $e^{imq}$ en esta última suma es nunca $1$, por lo que podemos aplicar la forma general de la serie geométrica de la fórmula para obtener
$$
s_n=\sum_{m=-\infty}^\infty a_m \left(\frac{1-e^{imnq}}{1-e^{imq}}\right)=\sum_{m=-\infty}^\infty a_m e^{im(n-1)p/2} \frac{\sin \frac{mnq}{2}}{\sin \frac{mq}{2}} \, .
$$
Ahora, vamos a $\Phi_n(x)=\frac{\sin (nx/2)}{\sin (x/2)}$. Esto es suficiente para mostrar que $\sum_{m=-\infty}^\infty |a_m \Phi_n(mq)|$ está delimitado de forma independiente de $n$. Tenga en cuenta que, para cualquier $x$$0 < |x| < \pi$,$|\Phi_n(x)| \leq \left|\frac{1}{\sin (x/2)}\right| \leq \frac{\pi}{|x|}$.
Elija $\alpha$$\mu < \alpha < k$. Desde $\alpha > \mu$, la desigualdad
\begin{equation}
\left| \frac{q}{2\pi} - \frac{\ell}{m}\right| > \frac{1}{|m|^\alpha}
\end{equation}
tiene para todos, pero un número finito de opciones de $(\ell, m) \in \Bbb{Z}^2$.
Ahora vamos a dividir y conquistar: en primer lugar vamos a demostrar que la suma de todos los términos en los que la desigualdad se cumple para $m$ está delimitado independiente de $n$; a continuación, vamos a demostrar que la suma de todos los términos en los que no tenemos tan limitado.
Supongamos que la desigualdad se cumple para algunos $m$; elija $\ell \in \Bbb{Z}$, de modo que $|mq-2\pi\ell|<\pi$. A continuación, por la periodicidad tenemos
$
\Phi_n(mq)=\Phi_n(mq-2\pi\ell)
$;
por el obligado acabamos de derivados en $\Phi_n$ se sigue que
$$
\left|\Phi_n(mq)\right|<\frac{\pi}{|mq-2\pi \ell|} = \frac{1}{2|m||q/2\pi \ell/m|} < \frac{1}{2}|m|^{\alpha-1}
$$
por nuestra irracionalidad medir la desigualdad. Desde $f$$C^k$, sus coeficientes de Fourier $a_m$ son todos delimitada por $\frac{2C}{|m|^k}$ para algunas constante y uniforme $C$. Por lo que podemos enlazado a la suma de todos los $m$ de manera tal que la irracionalidad medir la desigualdad se cumple por
$$
\sum_{m=-\infty}^\infty \frac{C}{|m|^k} |m|^{\alpha-1}=\sum_{m=-\infty}^\infty C |m|^{\alpha-k-1} \, ;
$$
desde $\alpha < k$, esto es convergente suma (y es independiente de $n$, ya que el $C$ sólo depende de $f$).
Por otro lado, hay sólo un número finito $m$ de manera tal que la desigualdad no se sostiene. Deje $\{m_1,\dots\,m_j\}$ los $m$; luego se sigue inmediatamente de nuestros desigualdad para $\Phi$ que la suma de estos términos está delimitado por $\sum_j a_{m_j} \frac{\pi}{|m_j q - 2\pi \ell_j|}$, donde el $\ell_j$ se eligen de manera que $|m_j q - 2\pi \ell_j|\leq \pi$. Dado que esta es una suma finita independiente de $n$, hemos terminado.
