Demostrar: si $f:G\to H$ isomorfismo hay $k:H \to G$ isomorfismo
El isomorfismo es un homomorfismo que es $1-1$ y sobre.
$f$ es
- homomorfismo: $\forall g_1,g_2\in G$ hay $h_1,h_2\in H$ s.t $f(g_1\cdot g_2)=f(g_1)*f(g_2)$
2.1-1: $f(g_1)=f(g_2)\rightarrow g_1=g_2$
- sobre: para todos $h\in H$ hay $g\in G$ s.t $f(g)=h$
$f$ es 1-1 y sobre para que haya $f^{-1}$ 1-1 y hacia.
mirando $$g_1\cdot g_2=_{(1)}f^{-1}\large{[f(g_1\cdot g_2)]=f^{-1}[f(g_1)*f(g_2)]}=_{(2)}f^{-1}[h_1*h_2]$$
donde $(1)$ $f$ es $inverse$ $(2)$ $f$ es $inverse$ y en particular sobre.
Así que $k=f^{-1}$ es un isomorfismo
¿Es válido? Perdón por mi redacción
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Sí, su razonamiento es esencialmente correcto.
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Su condición en el punto (1) no es correcta. $f:(G,\,\cdot\,)\to (H,*)$ es un homomorfismo (de grupos) si y sólo si $$\forall g_1,g_2\in G,\ f(g_1\cdot g_2^{-1})=f(g_1)*\left(f(g_2)\right)^{-1}$$ o, de forma equivalente, si y sólo si $$\begin{cases}\forall g_1,g_2\in G,\ f(g_1\cdot g_2)=f(g_1)*f(g_2)\\ \forall g\in G,\ f(g^{-1})=(f(g))^{-1}\end{cases}$$
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Lo siento, tenía que mencionarlo empecé con la ecuación interior y con 1 movimiento a la izquierda y con 2 movimiento a la derecha. traté de escribirlo en una fuente más grande