Grupos de orden 8 no son simples

Question

Demostrar que cualquier grupo de orden 8 no es un simple grupo. Sé que $\mathbb{Z}_8$, $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_4$, $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$, $Q_8$, $D_4$ no son simples. Pero no he podido probarlo en general.

Por favor, ayudar.

Answer 1

Aquí es otra tonta prueba, pero esta es probablemente la correcta.

Por Cauchy teorema (o de Lagrange) un grupo de $G$ de la orden de 8 contiene un subgrupo $H$ a de orden 2. Considerar la homomorphism de $G$ $\operatorname{Sym}(4)$dado por el número 4 cosets de $H$$G$, y dejando $G$ ley como la multiplicación de los cosets. La imagen es transitiva (mueve todos los puntos de alrededor) de modo que el núcleo debe ser menor que $G$. Si $G$ es simple, luego el kernel tiene que ser la identidad. El primer teorema de isomorfismo muestra que $G$ es isomorfo a un subgrupo $\operatorname{Sym}(4)$, pero cada subgrupo de orden 8 en $\operatorname{Sym}(4)$ es un Sylow 2-subgrupo, y así diedro de orden 8. Desde diedro grupos de orden 8 ya que se conoce que no simple, hemos terminado. $\square$

Normalmente, en lugar de los cosets de un subgrupo de orden 2, se utiliza una mayor subgrupo, pero 8 es tan pequeño, esto sólo funciona de todos modos.

Answer 2

Este grupo es un $p$-grupo con $p=2$, por lo que el centro del grupo, $Z(G)$, es trivial, y $Z(G)$ es normal en $G$ (válido para cualquier grupo). Por otra parte, $Z(G)=G$ $\iff$ $G$ es abelian, en cuyo caso cualquier subgrupo de orden $2$, para este problema específico, es normal. Si $Z(G)\neq G$, $Z(G)$ es un trivial normal y adecuada de los subgrupos.