Demostrar que $\sum_{n=1}^\infty \left(\phi-\frac{F_{n+1}}{F_{n}}\right)=\frac{1}{\pi}$

Question

Así que, sé que $$\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\phi$$

donde $F_n$ representa la n-esima número Fibonacci

Yo estaba interesado en medir el error de la convergencia de el límite anterior y fue atraído a la conjetura de que:

$$\sum_{n=1}^\infty \left(\phi-\frac{F_{n+1}}{F_{n}}\right)=\frac{1}{\pi}$$

¿Cómo podríamos ir a probar este resultado?

Editar:

La solución es realmente no $\frac{1}{\pi}$. Yo había pensado que era debido a la cercanía de la suma y $1/\pi$ son en realidad. Tengo curiosidad (si existe) si hay una forma cerrada para la suma.

Answer 1

Aviso:

• Proporción Áurea: $$\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$
• Límite de los números de Fibonacci: $$\lim_{n\to\infty}\frac{\text{F}_{n+1}}{\text{F}_n}=\phi$$
• El $n^{\text{th}}$ número Fibonacci: $$\text{F}_n=\frac{\phi^n-\left(-\phi\right)^{-n}}{\sqrt{5}}=\frac{\phi^n-\frac{1}{\left(-\phi\right)^n}}{\sqrt{5}}$$

Así, tenemos que:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left[\phi-\frac{\text{F}_{n+1}}{\text{F}_n}\right]=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\phi-\frac{\frac{\phi^{n+1}-\frac{1}{\left(-\phi\right)^{n+1}}}{\sqrt{5}}}{\frac{\phi^n-\frac{1}{\left(-\phi\right)^n}}{\sqrt{5}}}\right]=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\phi-\frac{1+(-\phi)^n\phi^{2+n}}{\phi\left(\left(-\phi^2\right)^n-1\right)}\right]=$$ $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+\phi^2}{\phi-\phi\left(-\phi^2\right)^n}=\frac{\sqrt{5}\left(5\pi-i\left(\ln(5)+2\psi_{\frac{1}{2}\left(-3-\sqrt{5}\right)}^{(0)}\left[1-\frac{2\pi}{\pi-i\text{arccosh}\left(\frac{3}{2}\right)}\right]\right)\right)}{2\left(\pi-i\text{arccosh}\left(\frac{3}{2}\right)\right)}$$

Answer 2

Los números de Fibonacci son dadas por $$F_n = \frac{\phi^n -(-\phi)^{-n}}{\sqrt{5}} $$ con $\phi=(1+\sqrt{5})/2$ la proporción áurea.

Así que tenemos que calcular $$ \sum_{n=1}^\infty\left(\phi\frac{F_{n+1}}{F_n}\right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1+\phi^2}{\phi(1+(-1)^{n+1}\phi^{2n})} =\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{5}\, 4^n}{4^n+(-1)^{n+1} \left(1+\sqrt{5}\right)^{2 n}}. $$

No estoy seguro de si este último la suma tiene cualquier agradable expresión explícita.

Pero sin duda, podemos ver que la suma converge absolutamente, como $$ \left|\frac{\sqrt{5}\, 4^n}{4^n+(-1)^{n+1} \left(1+\sqrt{5}\right)^{2 n}}\right| = O((4/5)^n).$$