Intuición geométrica para el complejo cordón fórmula

Question

El complejo cordón fórmula para el firmado el área de un triángulo con vértices dados por los números complejos $a, b, c$ es $$\frac{i}{4} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ \overline{a} & \overline{b} & \overline{c} \\ \end{vmatrix} $$

He visto la prueba de álgebra para esta usando la fórmula elemental de fila de las operaciones y la multilineal de la naturaleza de la determinante, sin embargo, que el estilo de la prueba parece implicar que la simplicidad de que el resultado final (es decir, un factor determinante que involucran sólo conjugados) es una coincidencia; además proporciona poco de intuición.

Estoy buscando una manera de entender esta fórmula a través de una geométricas/intuitiva argumento (no necesariamente riguroso) con el fin de obtener una comprensión más profunda en lugar de simplemente aceptar que el álgebra de las obras.

Answer 1

Considere el caso en $\,a=0\,$, en primer lugar, en la propuesta de la fórmula se reduce a:

$$ S_{OBC} = \frac{i}{4} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & b & c \\ \overline{0} & \overline{b} & \overline{c} \\ \end{vmatrix} = \frac{i}{4} \begin{vmatrix} b & c \\ \overline{b} & \overline{c} \\ \end{vmatrix} = \frac{i}{4}\left(b \bar c - \bar b c\right) = -\,\frac{1}{2}\,\operatorname{Im}(b \bar c) \etiqueta{1} $$

Vamos $\,b = |b| e^{i \beta}\,$, $\,c = |c| e^{i\gamma}\,$, a continuación,$\,b \bar c = |b|\cdot|c|\cdot e^{i(\beta-\gamma)}=\color{blue}{|b|}\cdot\color{blue}{|c|}\cdot \left(\cos(\beta-\gamma)+ i \color{red}{\sin(\beta-\gamma)}\right)\,$, lo $\,(1)\,$ es equivalente a la conocida triángulo (firmado) área de fórmula $\,S_{OBC} = \frac{1}{2}\,\color{blue}{OB} \cdot \color{blue}{OC} \cdot \color{red}{\sin \widehat{BOC}}\,$.

Pero la zona es, por supuesto, invariantes bajo las traducciones, por lo que se deduce que en el caso general:

$$ S_{ABC} = \frac{1}{2}\AB \cdot AC \cdot \sin \widehat{BAC} = -\,\frac{1}{2}\,\operatorname{Im}\left((b-a) \overline{(c-a)}\right) \etiqueta{2} $$

La última es equivalente a la indicada fórmula a través de la primaria de la columna de operaciones:

$$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ \overline{a} & \overline{b} & \overline{c} \\ \end{vmatrix} \;=\; \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & b-a & c-a \\ \overline{a} & \overline{b-a} & \overline{c-a} \\ \end{vmatrix} $$