Probabilidad de que al menos dos son de color gris

Question

Dicen que tenemos $11$ gris y $15$ blanco ratones, por lo $26$ en total en un recipiente que no puede ver. Queremos aprovechar $5$ de ellos a casa. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellos que son gris?

1. 2 gris: La probabilidad de que el primer ser gris es $\frac{11}{26}$ la segunda gris es $\frac{10}{25}$, los tres últimos blanco $\frac{15\cdot 14 \cdot 13}{24\cdot 23\cdot 22}$.
2. 3 gris: $\frac{11\cdot 10 \cdot 9 \cdot 15\cdot 14\cdot 13}{26\cdot 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22}$
3. 4 tonos de gris: $\frac{11\cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 15\cdot 14}{26\cdot 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22}$
4. 5 gris: $\frac{11\cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7\cdot 15}{26\cdot 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22}$

Y la probabilidad de que al menos $2$ gris es la suma de estos?

Answer 1

Hagamos los cálculos de forma explícita. Corregir algunos $g,w\ge 0$, $g+w=5$, y la pregunta es cuál es la probabilidad exacto $$P(g,w)$$ elegir exactamente $g$ Gris y $w$ Blanco ratones. En primer lugar, cada elección depende de las posiciones que tomamos las decisiones, por ejemplo, para $g=2$, $w=3$ tenemos $$\binom 52=\binom 53=\frac{4\cdot 5}{1\cdot 2}=10$$ de las posibilidades a considerar las "posiciones" extraemos el color correspondiente, la lista sería

WWWGG
WWGWG
WWGGW
WGWWG
WGWGW
WGGWW
GWWWG
GWWGW
GWGWW
GGWWW

Volvamos a fijar uno de los patrones anteriores. Luego tenemos a $11\cdot 10$ posibilidades para extraer los dos $G$ en los dos lugares que aparecen, y $15\cdot 14\cdot 13$ posibilidades de la $WWW$. De manera explícita, las probabilidades son: $$ \begin{aligned} P(5G,0W) &= \binom 50\cdot \frac {\color{red}{11\cdot10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}} {26\cdot 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22}\ , \\ P(4G,1W) &= \binom 51\cdot \frac {\color{red}{11\cdot10\cdot 9\cdot 8} \cdot \color{blue}{15}} {26\cdot 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22}\ , \\ P(3G,2W) &= \binom 52\cdot \frac {\color{red}{11\cdot10\cdot 9} \cdot \color{blue}{15\cdot 14}} {26\cdot 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22}\ , \\ P(2G,3W) &= \binom 53\cdot \frac {\color{red}{11\cdot10}\cdot \color{blue}{15\cdot 14\cdot 13}} {26\cdot 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22}\ , \\ P(1G,4W) &= \binom 54\cdot \frac {\color{red}{11} \cdot \color{blue}{15\cdot 14\cdot 13\cdot12}} {26\cdot 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22}\ , \\ P(0G,5W) &= \binom 55\cdot \frac {\color{blue}{15\cdot 14\cdot 13\cdot12\cdot 11}} {26\cdot 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22}\ . \end{aligned} $$ Vamos a utilizar la computadora ayuda a ver estos números, aquí sabio...

sage: P = {}
sage: d = factorial(26)/factorial(26-5)
sage: for w in [0..5]:
....:     g = 5-w
....:     numer = binomial(5,w) \
....:           * factorial(11)/factorial(11-g) \
....:           * factorial(15)/factorial(15-w)
....:     P[w] = numer/d
....:      
sage: for w in [0..5]:
....:     print "P( %sG , %sW ) = %s ~ %f" % ( 5-w, w, P[w], P[w].n() )
....:     
P( 5G , 0W ) = 21/2990 ~ 0.007023
P( 4G , 1W ) = 45/598 ~ 0.075251
P( 3G , 2W ) = 315/1196 ~ 0.263378
P( 2G , 3W ) = 35/92 ~ 0.380435
P( 1G , 4W ) = 21/92 ~ 0.228261
P( 0G , 5W ) = 21/460 ~ 0.045652
sage: sum( P.values() )
1

La necesaria probabilidad es así

sage: P[0] + P[1] + P[2] + P[3]
167/230
sage: _.n()
0.726086956521739

O (humanamente mucho) más simple

sage: 1 - P[4] - P[5]
167/230
sage: _.n()
0.726086956521739

Answer 2

La probabilidad de que al menos dos son de color gris es uno menos la probabilidad de que en la mayoría de los que uno es de color gris.

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La probabilidad de que ninguno es gris es : $\dfrac{15}{26}\dfrac{14}{25}\dfrac{13}{24}\dfrac{12}{23}\dfrac{11}{22}$ o en corto $\left.\dbinom {15}5\middle/\dbinom{26}5\right.$

La probabilidad de que uno es gris es : $\dfrac{11}{26}\dfrac{15}{25}\dfrac{14}{24}\dfrac{13}{23}\dfrac{12}{22}\times 5$ Ya que el orden no importa contamos todos los órdenes. O en corto $\left.\dbinom 51\dbinom{11}1\dbinom {15}4\middle/\dbinom{26}5\right.$

Poner juntos