Encuentra todas las matrices que se desplazan con $A$

Question

Dado $$A = \begin {bmatrix} 3 & 1 &0 \\ 0 &3 & 1 \\ 0 &0 & 3 \end {bmatrix}$$ encontrar matrices $B$ de tal manera que $AB=BA$ .

Trivialmente $B=A^{-1}$ y $B=kI$ son las soluciones

También tenemos el polinomio característico como

$$A^3-9A^2+27A-27I=0$$ $ \implies $

$$(A-3I)^3=0$$

¿Es posible encontrar otros $B's$ utilizando por encima de la nilpotencia de $A-3I$ ?

Answer 1

Escribiendo la multiplicación de la matriz y simplificando se obtiene: \begin {align*} AB &= BA \\ \begin {bmatrix} 3 & 1 &0 \\ 0 &3 & 1 \\ 0 &0 & 3 \end {bmatrix} \begin {bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \\ \end {bmatrix} &= \begin {bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \\ \end {bmatrix} \begin {bmatrix} 3 & 1 &0 \\ 0 &3 & 1 \\ 0 &0 & 3 \end {bmatrix} \\ \begin {bmatrix} 3b_{11} + b_{21} & 3b_{12} + b_{22} & 3b_{13}+b_{23} \\ 3b_{21} + b_{31} & 3b_{22} + b_{32} & 3b_{23}+b_{33} \\ 3b_{31} & 3b_{32} & 3b_{33} \end {bmatrix} &= \begin {bmatrix} 3b_{11} & b_{11}+3b_{12} & b_{12} + 3b_{13} \\ 3b_{21} & b_{21}+3b_{22} & b_{22} + 3b_{23} \\ 3b_{31} & b_{31}+3b_{32} & b_{32} + 3b_{33} \end {bmatrix} \\ \begin {bmatrix} b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \\ 0 & 0 & 0 \end {bmatrix} &= \begin {bmatrix} 0 & b_{11} & b_{12} \\ 0 & b_{21} & b_{22} \\ 0 & b_{31} & b_{32} \end {bmatrix} \end {align*} Por lo tanto, $b_{21},b_{31},b_{32}=0$ , $b_{11}=b_{22}=b_{33}$ y $b_{12}=b_{23}$ confirmando que las soluciones son exactamente las dadas por Robert.

Answer 2

Desde $$A=3\operatorname{Id}_3+\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$$ y toda matriz conmuta con $3\operatorname{Id}_3$ , se buscan las matrices que conmutan con $$\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}.\tag1$$ Un simple cálculo muestra que $$\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}d & e-a & f-b \\ g & h-d & i-e \\ 0 & -g & -h\end{pmatrix}$$ y por lo tanto la matriz $$\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}$$ se desplaza con $(1)$ si y sólo si $$\left\{\begin{array}{l}d=g=h=0\\a=e=i\\f=b.\end{array}\right.$$ Por lo tanto, la respuesta a su pregunta es: las matrices de la forma $$\begin{pmatrix}a&b&c\\0&a&b\\0&0&a\end{pmatrix}.$$

Answer 3

Polinomios en $A$ siempre se desplazan con $A$ . En este caso serán triangulares superiores con diagonales constantes, es decir $$ \pmatrix{a & b & c\cr 0 & a & b\cr 0 & 0 & a}$$ Querrás demostrar que estas son todas las soluciones.

Answer 4

Todas las matrices que son expresiones polinómicas en $A$ viajar con $A$ . Por otro lado, estas son las únicas matrices en el centralizador de $A$ si $A$ es nonderogatoria, es decir, los polinomios característicos y mínimos de $A$ coinciden. En este caso el polinomio mínimo sólo puede ser $X-3I$ , $(X-3I)^2$ o $(X-3I)^3$ (ya que debe ser mónico y dividir el polinomio característico) y sustituyendo $A$ encontramos que, de hecho, es $(X-3I)^3$ Así que $A$ es nonderogatoria y las matrices que conmutan con $A$ son de la forma $$\{a I_3+bA +cA^2 \ | \ a,b,c\in F\} =\left\{\begin{pmatrix}a+3b+9c & b+6c & c\\ 0 & a +3b+9c & b+6c \\ 0 & 0 & a+3b+9c \end{pmatrix} \ | \ a,b,c\in F\right\}=\left\{\begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix} \ | \ a,b,c\in F\right\},$$ el último paso mediante un cambio lineal de coordenadas (que no implica ninguna división, por lo que es válido en cualquier característica).

Answer 5

Con

$N = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \tag 1$

tenemos

$A = 3I + N; \tag 2$

entonces

$AB = BA \tag 3$

implica

$(3I + N)B = B(3I + N), \tag 4$

o

$3B + NB = 3B + BN, \tag 5$

de donde

$NB = NB; \tag 6$

con

$B = \begin{bmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ b_4 & b_5 & b_6 \\ b_7 & b_8 & b_9 \end{bmatrix}, \tag 7$

entonces tenemos

$NB = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ b_4 & b_5 & b_6 \\ b_7 & b_8 & b_9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_4 & b_5 & b_6 \\ b_7 & b_8 & b_9 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \tag 8$

y

$BN = \begin{bmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ b_4 & b_5 & b_6 \\ b_7 & b_8 & b_9 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & b_1 & b_2 \\ 0 & b_4 & b_5 \\ 0 & b_7 & b_8 \end{bmatrix}; \tag 9$

comparando (8) y (9) a la luz de (6) se obtiene

$b_4 = b_7 = b_8 = 0, \; b_1 = b_5 = b_9 = 0, \; b_6 = b_2, \tag{10}$

y $b_3$ no especificado/no restringido; por lo tanto $B$ tiene la forma

$B = \begin{bmatrix} 0 & b_2 & b_3 \\ 0 & 0 & b_2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}; \tag{11}$

es fácil retroceder en estos cálculos y mostrar que cada $B$ como en (11) satisface (6) y por tanto (3); que $B$ tomar la forma (11) es, por tanto, una condición necesaria y suficiente para que (3) sea vinculante.