Preguntas sobre el más áspero de la topología en $X \times X$ para que la métrica $d : X \times X \to \mathbb{R}$ es continua

Question

Si $(X,d)$ es un espacio métrico, entonces sabemos que la topología generada por el conjunto de $$\{ B_d (x,\delta) : \text{$x \in X$ and $\delta > 0$} \}$$ se llama la topología métrica.

Entonces, ¿cómo se llama el más áspero de la topología en $X \times X$ de manera tal que la función de $d:X \times X \to \mathbb R$ es una función continua?

Hay alguna relación entre estas dos topologías?

Answer 1

Creo que no hay un nombre específico para el más áspero de la topología en $X \times X$ que $d : X \times X \to \mathbb{R}$ es continua. En general si $f$ es una función de un conjunto $Y$ a de un espacio topológico $Z$, el más áspero de la topología en $Y$ que $f$ es continua se llama la topología en $X$ generado por $f$. Por lo tanto, podemos llamar la topología en $X \times X$ generado por $d$.

Para el resto vamos a arreglar las siguientes notaciones:

• $\mathcal{O}_d$ es la topología en $X \times X$ generado por $d$;
• $\mathcal{O}_{\mathrm{m}d}$ es la métrica de la topología en $X$;
• $\mathcal{O}_{\mathrm{p}d} \sim \mathcal{O}_{\mathrm{m}d} \otimes \mathcal{O}_{\mathrm{m}d}$ es la "métrica de producto topología" en la $X \times X$.

$\mathcal{O}_{d}$ es generado por los conjuntos de la forma $$d^{-1} [ ( a , b ) ] = \{ ( x , y ) \in X \times X : a < d (x,y) < b \}$$

Tenga en cuenta que desde $\mathcal{O}_d$ es una topología en $X \times X$ $\mathcal{O}_{\mathrm{m}d}$ es una topología en $X$, las dos topologías, no puede ser comparado. Sin embargo, podemos comparar el $\mathcal{O}_d$$\mathcal{O}_{\mathrm{p}d}$. Por supuesto, $\mathcal{O}_{d}$ es más gruesa de lo $\mathcal{O}_{\mathrm{p}d}$, ya que el $d$ es continua con respecto a $\mathcal{O}_{\mathrm{p}d}$.

Estas dos topologías pueden diferir en gran medida (excepto en casos triviales).

Por ejemplo, si $X$ tiene al menos dos puntos, a continuación, $\mathcal{O}_{d}$ no es Hausdorff (incluso no T₀). Esto es debido a que para todos los $x , y \in X$ no hay ningún conjunto abierto que contiene exactamente una de $(x,x)$ o $(y,y)$. Por otro lado, $\mathcal{O}_{\mathrm{p}d}$ siempre es Hausdorff (incluso perfectamente normal, ya que ella misma es metrizable topología).