Problema que implica el Teorema Fundamental del Cálculo

Question

Estoy trabajando en la siguiente pregunta:

Simplificar la siguiente: $$\frac{d}{dx}\int_x^{x^2}\frac{t}{\log t}\,dt$$

La solución clave dice que esto se simplifica a: $$2x\frac{x^2}{\log(x^2)}-\frac{x}{\log(x)}$$

Creo que este mal, aunque. Por dos razones:

1. No podemos usar el teorema fundamental del cálculo (FTC) porque el integrando debe ser continua en el intervalo de interés. El cociente de funciones continuas es continua, siempre que el denominador no es cero. Hay un problema, aunque en $t=1$.
2. La FTC se indica con un extremo fijo, podemos asumir que ambos extremos son funciones?

Dadas estas advertencias, no estoy seguro de cómo proceder-pensamientos?

Answer 1

El dominio de la función $f(x) = \displaystyle \int_x^{x^2} \dfrac{t}{\log t} \, dt$$(0,1) \cup (1,\infty)$, pero ciertamente sería coherente para definir $f(1) = 0$ desde que la integral definida en un intervalo degenerado. Tomar el dominio a ser $(0,1) \cup (1,\infty)$.

Ahora, vamos a $F$ ser una antiderivada de $\dfrac{t}{\log t}$ definidas en el intervalo de $(0,1)$ o $(1,\infty)$. El teorema fundamental del cálculo da $$ f(x) = F(x^2) - F(x)$$ so that $$f'(x) = F'(x^2) \cdot 2x - F'(x) = \frac{x^2}{\log (x^2)} \cdot 2x - \frac{x}{\log x}.$$

Answer 2

1. Es, probablemente, supone implícitamente que $x \in (0,\infty)\backslash \{1\}$. (Tenga en cuenta que esto garantiza que tanto los $x$ $x^2$ son en $(0,1)$ o en $(1,\infty)$.)

2. Se puede dividir la integral en dos partes, es decir, se puede escribir $$ \int_x^{x^2} \frac{t}{\log t} \, dt = \int_x^{a} \frac{t}{\log t} \, dt + \int_a^{x^2} \frac{t}{\log t} \, dt = \int_a^{x^2} \frac{t}{\log t} - \int_a^{x} \frac{t}{\log t} , $$ donde $a$ es una constante entre los $x$$x^2$, y, a continuación, utilizar la FTC en cada término por separado.

Answer 3

Observe que el integrando sólo está definida para $\mathbb R^+\backslash\{1\}$. Por lo tanto, la región de $(x, x^2)$ nunca cruces $1$.

A su segunda pregunta, siempre podemos dividir la integral en cualquier lugar que nos gusta. Por ejemplo, cuando se $x \in (3,9)$,

$$ \int^{x^2}_x \frac{t}{\log t} \mathrm dt=\int^{x^2}_9 \frac{t}{\log t} \mathrm dt+\int^{9}_x \frac{t}{\log t} \mathrm dt $$

... y se puede proceder mediante la diferenciación de ellos por separado. Al $x$ no está en esta región, usted siempre puede elegir algún otro punto de división, y coser los resultados juntos.