Cómo Euler llegó al poder de la serie para $a^x$ $\ln x$

Question

Estoy leyendo un libro que reproduce de Euler argumentos, y tengo un par de preguntas acerca de un par de cosas que él hace. A continuación son las partes del argumento:

Deje $a > 1$. Considere la posibilidad de un "infinitamente pequeña cantidad" $\omega$.

$a^\omega$ $\approx$ $1$.

Vamos $a^\omega$ = $1 + \psi$, para $\psi$ "infinitamente pequeño número".

Luego, con el deseo de relacionarse $\psi$$\omega$. Él dice que vamos a $\psi$ = $k$$\omega$ para el número real $k$.

Así tenemos $a^\omega$ = $1 + k$$\omega$.

En este punto, al parecer de Euler calculada algunos ejemplos:

para $a = 10$ y $\omega = 0.000001$ $k = 2.3026$.

y para $a = 5$ y $\omega = 0.000001$ $k = 1.60944$.

Él llegó a la conclusión de que $k$ es un número finito, que depende del valor de la base de $a$. *

Ahora para un número finito $x$ buscó la expansión de $a^x$. Para hacer esto él dijo que $j = \frac{x}{\omega}$ y expresó $x$$x = \omega j$, y continuó.

Después de que él tuvo éxito en la búsqueda de una expansión para $a^x$ buscó la expansión para el logaritmo natural (la inversa de la función de $a^x$ cuando la base de la $a$ es de la que $k = 1$, en nuestro (y de Euler) la notación $a = e$).

1) ¿Cómo se debe pensar infinitamente pequeño e infinitamente grandes números?

2) no Es claro para mí que el valor de $k$ en la derivación de una potencia de la serie para $a^x$ no dependen también de $\omega$. Como en de $a = 10$ si tomamos $\omega$ a ser diferentes (pequeño) de valor, no es claro para mí que $k$ no cambiaría. A menos que la idea es que nos vamos a $\omega$ $0$ y en el límite de $a^\omega = 1 + k\omega$?

3)No me queda claro que un finito número positivo $x$ puede ser expresado como $x = \omega j$ algunos $j$, ya que el $\omega$ es un misterioso "infinitamente pequeño" cantidad

4)no Es claro para mí que debería de existir un único valor de la base de $a$ que $k = 1$ apriori, que Euler parece asumir que existe, aunque supongo que la expansión de la $a^x$ es en términos de $k$, y el establecimiento $x = 1$$k = 1$, se puede calcular la base de $a$ que $k = 1$ y ver que es el valor que nos tomamos nuestro constante $e$ . ¿Es esta la forma de Euler podría haber conocido existe una base?

En su derivación para la expansión de la $ln(1+x)$, escribe:

Por lo tanto para "infinitamente pequeño $\omega$" $e^\omega = 1 + \omega$.

Por lo tanto $ln(1 + \omega) = \omega$.

Por lo $j\omega = ln(1 + \omega)^j$ Pero $\omega$ aunque infinitamente pequeño es positivo, por lo que el más grande es el número elegido para $j$, la más $(1+\omega)^j$ superará $1$.

Así que para cualquier positivos $x$, podemos encontrar $j$, de modo que $x = (1 + \omega)^j - 1$.

De esto se concluye que la $1 + x = (1 + \omega)^j$, y por lo $ln(1 + x) = j\omega$. Y desde $ln(1 + x)$ es finito y $\omega$ es infinitamente pequeño, $j$ debe ser infinitamente grande.

5) en la obtención de una expansión para $ln(1+x)$, Euler sostiene que $\omega$ aunque infinitamente pequeño es positivo, por lo que el más grande es el número elegido para $j$, la más $(1+\omega)^j$ superará $1$. Así que para cualquier positivos $x$, podemos encontrar $j$, de modo que $x = (1 + \omega)^j - 1$.

Esto hace que el infinitamente pequeño noción aún más confuso, como $1 + \omega$ puede hacerse arbitrariamente grande, levantando $1 + \omega$ a los poderes superiores, y por lo $\omega$ contribuye un importe distinto de cero, y entonces, ¿cómo puede ser infinitamente pequeño? Resulta que $j$ debe ser infinitamente grande, pero nos dijeron $(1 + \omega)^j$ es mayor cuando el número más grande es elegido por $j$. ¿Cómo puede un número mayor de ser elegido de una "infinitamente grande" número?

Answer 1

Los estándares de matemáticas de rigor fueron drásticamente diferentes de Euler del tiempo, especialmente cuando se trata con el infinito y lo infinitesimal elementos. De una muy buena ilustración de cómo los diferentes las reglas se entiende, es posible que desee leer el siguiente artículo:

Grabiner, J. (1974). Es Matemático, La Verdad, El Tiempo-Dependiente? El American Mathematical Monthly, 81(4), 354-365. doi:10.2307/2318997. (en línea en https://www.jstor.org/stable/2318997?seq=1#page_scan_tab_contents).

Grabiner es la tesis de que hubo una transformación masiva en las normas de lo que constituye la "prueba" (y, por tanto, lo que constituye la "verdad") en el siglo 19. Ella ilustra su tesis con un examen de una prueba de Euler es muy similar a la que preguntar. Grabiner escribe:

Para establecer lo que el siglo xviii la práctica de matemáticas fue como, veamos primero una brillante deducción de un ya conocido resultado. Aquí es cómo Leonhard Euler derivados de la serie infinita para el el coseno de un ángulo. Comenzó con la identidad de $$(\cos z + i\sin z)^n = \cos nz + i \sin nz$$

Él luego se amplió el lado izquierdo de la ecuación, de acuerdo a la teorema del binomio. Tomando la parte real de que el binomio de expansión y la equiparación de la a $\cos nz$, obtuvo $$\cos nz = (\cos z)^n -\frac{n(n-1)}{2!}(\cos z)^{n-2}(\sin z)^2 +\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}(\cos z)^{n-4}(\sin z)^4 - \cdots$$ Let $z$ ser un infinitamente pequeño arco, y deje $n$ ser infinitamente grande. Entonces: $$\cos z = 1, \sin z = z, n(n-1)=n^2, n(n-1)(n-2)(n-3)=n^4, \textrm{ etc.}$$ The equation now becomes recognizable: $$\cos nz = 1 - \frac{n^2z^2}{2!} + \frac{n^4z^4}{4!} - \cdots$$ But since $z$ es infinitamente pequeño e $n$ infinitamente grande, Euler concluye que $nz$ es una cantidad finita. Así que vamos a $nz = v$. El lector moderno puede ser a la izquierda ligeramente sin aliento; aún así, tenemos $$\cos v = 1 - \frac{v^2}{2!} + \frac{v^4}{4!} - \cdots$$ Ahora que hemos trabajado a través de un ejemplo, vamos a ser capaces de apreciar algunas generalizaciones acerca de la forma en la que muchos del siglo xviii matemáticos trabajado. En primer lugar, el énfasis principal fue en la obtención de resultados. Todos los matemáticos se sabe que muchos de los resultados a partir de este período, los resultados que llevan los nombres de Leibniz, Bernoulli, L'Hospital, Taylor, Euler, y de Laplace. Pero las posibilidades son buenas de que estos resultados fueron obtenidos originalmente en formas totalmente diferentes de las maneras de demostrar que el día de hoy. Es dudoso que Euler y su contemporáneos habrían sido capaces de obtener sus resultados si se había sido cargado con nuestros estándares de rigor. Aquí, entonces, es uno la diferencia principal entre el siglo xviii manera de hacer las matemáticas y a nuestra manera.

Grabiner identifica dos características principales de trabajo matemático de Euler de la época:

1. "El principal énfasis en la obtención de resultados... Para el siglo xviii los matemáticos, el fin justifica los medios". (p. 356)
2. "Los matemáticos depositado una gran confianza en el poder de los símbolos. A veces parece que se han asumido que si uno podría simplemente escribir algo que fue simbólicamente coherente, la verdad de la declaración estaba garantizada". (p. 356)

El resto del artículo se describe cuándo, por qué y cómo los estándares de matemáticas de la prueba empezó a cambiar, y que sin duda debe tener una mirada en ella. Grabiner (1974) es bien conocido en la Matemática Ed de investigación de la comunidad, pero creo que es reconocido entre los matemáticos contemporáneos.

Answer 2

Respuesta corta. Le pregunte

¿Cómo se debe pensar infinitamente pequeño e infinitamente grandes números?

a lo que mi respuesta es

No confíe en la ingenuidad formal manipulaciones, a menos que usted sea de Euler.

En su lugar

el uso de las definiciones modernas de los límites de

o, si eres valiente,

desarrollar análisis no estándar.

Edición en respuesta a un comentario.

Básicamente, estoy de acuerdo con @JairTaylor . Todos pensamos, ingenuamente, antes de rigorizing. Me refería a mi respuesta como un homenaje a Euler, quien pensaba que su camino a través de a conclusiones correctas antes de rigor en el análisis fue inventado.