Propiedades de $\{x\in X\mid f(x)=||f||\}$

Question

Deje $X$ ser una normativa espacio, $f\in X^*\setminus\{0\}$ (el doble continua), $E:=\{x\in X\mid f(x)=\|f\|\}$. Demostrar que $E$ es un conjunto cerrado no vacío y que $\inf \{\|x\|\mid x\in E\}=1$.

No tengo idea de cómo probar que $E$ es no vacío y que $\inf \{\|x\|\mid x\in E\}=1$. $E$ es cerrado, ya que es la inversa de la imagen de un punto ($\|f\|$) y $f$ es continuo, de modo inverso imágenes de conjuntos cerrados están cerrados.

Answer 1

Si $f=0$ idéntica, a continuación, $\|f\|=0$ $E=X$ que es no vacío y cerrado y claramente contiene a$x$$\|x\|=1$. Así que supongamos $f(x) \neq 0$ algunos $x\in X$. A continuación, $f(\alpha x)=\|f\|$ donde $\alpha=\|f\|/f(x)$. Por lo tanto, $E$ es no vacío. $E$ es claramente cerrado, ya que es la inversa de la imagen del conjunto cerrado $\{\|f\|\}$.

A continuación, vamos a $x\in E$$f(x)=\|f\|$. Se sigue de la definición de la norma que $\|f(x)\| \leq \|f\| \|x\|$. Por sustitución, tenemos $1\leq \|x\|$.

Finalmente, por la definición de la norma, tenemos una secuencia $x_i \in X$ tal que $f(x_i)/\|x_i\| \rightarrow \|f\|$. Por la normalización, podemos suponer $\|x_i\|=1$. Por lo $f(x_i) \rightarrow \|f\|$. Ahora para $i$ lo suficientemente grande, $f(x_i) \neq 0$ $\alpha_i x_i \in E$ donde $\alpha_i=\|f\|/f(x_i)$. Uno tiene $$\|\alpha_i x_i\|=\|f\|/f(x_i) \rightarrow 1,$$ y por lo $\inf \{\|x\|: x\in E\}=1$.

Answer 2

Desde $f \neq 0$ tenemos $f(x^*) \neq 0$ algunos $x^*$, por lo que, a continuación, $f({\|f\| \over f(x^*)} x^*) = \|f\|$ $E$ no está vacío.

Desde $f$ es continua, $f^{-1} ( \{ \|f\| \})$ es cerrado.

Tenga en cuenta que $f(x) = \|f\|$ todos los $x \in E$. Desde $\|f\| = f(x) \le \|f\| \|x\|$ vemos que $\|x\| \ge 1$.