Deje $A,B,C$ ser las raíces del polinomio cúbico
$$
g(x) = x^3 - x^2 - 2x + 1\ .
$$
Por lo $A,B,C$ satisfacer (Vieta):
$$
\begin{aligned}
e_1 &=A + B + C &&=+1\ ,\\
e_2 &= AB + BC + CA &&=-2\ ,\\
e_3 &= A B C &&= -1\ .
\end{aligned}
$$
(Equipo de apoyo para motivar el de arriba es aplazada.)
Estos valores son numéricamente:
sage: R.<x> = PolynomialRing(QQ)
sage: g = x^3 - x^2 - 2*x + 1
sage: g(x).roots(ring=QQbar, multiplicities=False)
[-1.246979603717467?, 0.4450418679126288?, 1.801937735804839?]
así son reales.
Calculamos el polinomio con raíces $a'=A^5$, $b'=B^5$, $c'=C^3$.
(Nosotros "esperanza" de que $a=a'$, $b=b'$, $c=c'$.)
Para esto tenemos que empezar los cálculos que involucran polinomios simétricos,
tratando de conseguir
$e_1(a',b',c')$,
$e_2(a',b',c')$,
$e_3(a',b',c')$, en términos de $e_1(A,B,C)$, $e_2(A,B,C)$, $e_3(A,B,C)$.
Aquí, $e_1$, $e_2$, $e_3$ son los tres primeros polinomios simétricos.
(Hemos formalmente $e_4=e_5=\dots=0$.)
Uno de los resultados es inmediata:
$$
e_3(a',b',c')
=a'b'c'
=^5B^5C^5=(ABC)^5=e_3(a,B,C)^5=-1\ .
$$
Tenemos ahora el polinomio de Newton $p_5$ en el de Newton identidades de quinto grado...
$$
\begin{aligned}
e_1(a',b',c')
&=
a'+b'+c'
\\
&=A^5+B^5+C^5
\\
&=p_5(A,B,C)\ ,\\
&\qquad\text{so we compute successively}\\
p_1(A,B,C) &= e_1(A,B,C)=1\ ,\\
p_2(A,B,C) &= (e_1p_1-2e_2)(A,B,C)=1\cdot 1-2\cdot(-2)=5\ ,\\
p_3(A,B,C) &= (e_1p_2-e_2p_1+3e_2)(A,B,C)=1\cdot 5-(-2)\cdot1+3\cdot(-1)=4\ ,\\
p_4(A,B,C) &= (e_1p_3-e_2p_2+e_3p_1)(A,B,C)=1\cdot 4-(-2)\cdot5+(-1)\cdot1=13\ ,\\
e_1(a',b',c') &=p_5(A,B,C)
\\&=(e_1p_4-e_2p_3+e_3p_2)(A,B,C)=1\cdot13-(-2)\cdot4+(-1)\cdot5=16\ .
\end{aligned}
$$
Necesitamos ahora, finalmente,$a'b'+b'c'+c'a'$.
Para ello, vamos a repetir el mismo procedimiento anterior, pero no por $A,B,C$, pero para $s,t,u$, que son, respectivamente,$AB$, $BC$, $CA$, con
$$
\begin{aligned}
e_1(s,t,u) &=s+t+u=AB + BC + CA &&=-2\ ,\\
e_2(s,t,u) &=st+tu+us= ABC(A+B+C) &&=-1\ ,\\
e_3(s,t,u) &=stu= A^2 B^2 C^2 &&= +1\ .
\end{aligned}
$$
Por lo tanto tenemos:
$$
\begin{aligned}
p_1(s,t,u)&=e_1(s,t,u)=-2\ ,\\
p_2(s,t,u)&=(e_1p_1-2e_2)(s,t,u)=(-2)\cdot (-2)-2\cdot(-1)=6\ ,\\
p_3(s,t,u)&=(e_1p_2-e_2p_1+3e_2)(s,t,u)=(-2)\cdot6-(-1)\cdot(-2)+3\cdot1=-11\ ,\\
p_4(s,t,u)&=(e_1p_3-e_2p_2+e_3p_1)(s,t,u)
=(-2)\cdot(-11)-(-1)\cdot6+1\cdot(-2)=26\ ,\\
e_2(a',b',c')&=p_5(s,t,u)
\\
&=(e_1p_4-e_2p_3+e_3p_2)(s,t,u)
=(-2)\cdot26-(-1)\cdot(-11)+1\cdot6=-57\ .
\end{aligned}
$$
Por lo $a',b',c'$ son las raíces del polinomio
$$
x^3-E_1x^2+E_2x-E_3
=
x^3 - 16x^2 -57 x +1\ .
$$
Por lo $a',b',c'$ (hasta el reordenamiento) el "dado" valores de $a,b,c$.
Llegamos a la conclusión de:
$$
a^{1/5} + b^{1/5} + c^{1/5}
=A+B+C=1\ .
$$
$\square$
Numerical support for the computations done so far, and the motivation for the abrupt start with the roots $a,B,C$ of the polynomial $x^3 - x^2 - 2x + 1$:
Sage code:
R.<x> = PolynomialRing(QQ)
f = x^3 - 16*x^2 - 57*x + 1
a, b, c = f.roots( ring=QQbar, multiplicities=False )
a, b, c
a^(1/5), b^(1/5), c^(1/5)
This gives:
(-3.015065490237851?, 0.01745839634379104?, 18.99760709389406?)
(1.008827691046369? + 0.7329562209746396?*I,
0.4450418679126288?,
1.801937735804839?)
OK, the computer needs human assitance to get the right fifth root of $$ in $\Bbb R$.
A, B, C = -(-a)^(1/5), b^(1/5), c^(1/5)
dando
sage: A, B, C
(-1.246979603717467?, 0.4450418679126288?, 1.801937735804839?)
esto es bueno, tres números reales. Permítanos calcular la primaria simétrica funciones,
y el primero de los polinomios de Newton para ellos:
print "A + B + C = %s" % (A+B+C)
print "AB + BC + CA = %s" % (A*B + B*C + C*A)
print "A B C = %s" % (A*B*C)
for k in [1..5]:
print "A^%s + B^%s + C^%s = %s" % (k, k, k, A^k+B^k+C^k)
Esto da para mucho:
A + B + C = 1.000000000000000?
AB + BC + CA = -2.000000000000000?
A B C = -1.000000000000000?
A^1 + B^1 + C^1 = 1.000000000000000?
A^2 + B^2 + C^2 = 5.000000000000000?
A^3 + B^3 + C^3 = 4.000000000000000?
A^4 + B^4 + C^4 = 13.00000000000000?
A^5 + B^5 + C^5 = 16.00000000000000?
Mismo para los valores de $s,t,u$:
s, t, u = A*B, B*C, C*A
print "s + t + u = %s" % (s+t+u)
print "st + tu + us = %s" % (s*t + t*u + u*s)
print "s t u = %s" % (s*t*u)
for k in [1..5]:
print "s^%s + t^%s + u^%s = %s" % (k, k, k, s^k+t^k+u^k)
Esto nos da:
s + t + u = -2.000000000000000?
st + tu + us = -1.000000000000000?
s t u = 1.000000000000000?
s^1 + t^1 + u^1 = -2.000000000000000?
s^2 + t^2 + u^2 = 6.000000000000000?
s^3 + t^3 + u^3 = -11.00000000000000?
s^4 + t^4 + u^4 = 26.00000000000000?
s^5 + t^5 + u^5 = -57.00000000000000?
