Evaluar $\int_0^1\frac {\{2x^{-1}\}}{1+x}\,\mathrm d x$

Question

Estoy tratando de evaluar $$\int_0^1\frac {\{2x^{-1}\}}{1+x}\,\mathrm d x$$

donde $\{x\}$ es la parte fraccionaria de $x$.

He tratado de dividir la integral, pero es bastante complicado y confuso. Hay un método fácil para tales integrales?

Answer 1

$$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}\frac{\{2x^{-1}\}}{1+x}=\int_{1}^{+\infty}\frac{\{2x\}}{x(x+1)}\,dx &=&2\int_{2}^{+\infty}\frac{\{x\}}{x(2+x)}\,dx\\&=&\int_{2}^{+\infty}\left(\frac{\{x\}}{x}-\frac{\{x+2\}}{x+2}\right)\,dx\end{eqnarray*}$$ claramente es igual a $$ \int_{2}^{4}\frac{\{x\}}{x}\,dx = \int_{2}^{3}\frac{x-2}{x}\,dx+\int_{3}^{4}\frac{x-3}{x}\,dx = \color{red}{2-4\log 2+\log 3}.$$

Answer 2

Dividir la integral debe trabajar. Tenga en cuenta que $n\leq 2x^{-1}\leq n+1\iff 2(n+1)^{-1}\leq x\leq 2n^{-1}$. A continuación, se divide en intervalos de $[2(n+1)^{-1},2n^{-1}]$$n\geq 2$, obtenemos \begin{align*} \int_0^1\frac{\{2x^{-1}\}}{1+x}~dx &= \sum_{n=2}^\infty \int_{2(n+1)^{-1}}^{2n^{-1}}\frac{\{2x^{-1}\}}{1+x}~dx = \sum_{n=2}^\infty \int_{2(n+1)^{-1}}^{2n^{-1}}\frac{2x^{-1}-n}{1+x}~dx \\ &= \sum_{n=2}^\infty \int_{2(n+1)^{-1}}^{2n^{-1}}\frac{2}{x(1+x)} - \frac{n}{1+x}~dx. \end{align*}

Answer 3

Esto es igual a la integral $$\int_1^\infty \frac{\{2x\}}{1+\frac1x} \mathrm dx$$ This is equivalent to $$\sum\limits_{n=2}^\infty \int_{n/2}^{\frac{n+1}2} \frac{2x-n}{1+\frac1x}\mathrm dx$$

Esto es fácil de evaluatable.