¿El polinomio no puede tener todas las raíces reales?

Question

Dejemos que $P \in \mathbb R[x]$ sea un grado- $n$ polinomio con coeficientes reales tal que $P(a) \neq 0$ , donde $a$ es real. Si $P'(a) = P ''(a) = 0$ entonces demuestre que $P$ no puede tener todas las raíces reales.

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¿Puede alguien sugerir una posible solución utilizando Teorema de Rolle ? Todo lo que he podido averiguar es que $P'(x) = 0$ tiene una raíz repetida por el Teorema de Rolle. Pero estoy atascado después de esto.

Answer 1

Supongamos que $P$ tiene grado $n$ y que $x_1,x_2,\dots,x _n$ sean todas sus raíces (se permiten repeticiones). Entonces $P(x)=c\prod_{k=1}^n (x-x_k)$ , y si $x$ no es una raíz de $P$ tenemos que $$\frac{P'(x)}{P(x)}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{x-x_k}.$$ Tras tomar la derivada obtenemos $$\frac{P''(x)P(x)-(P'(x))^2}{(P(x))^2}=-\sum_{k=1}^n \frac{1}{(x-x_k)^2}.$$ Por último, dejando que $x=a$ (que no es una raíz) obtenemos una contradicción: $$0=\frac{P''(a)P(a)-(P'(a))^2}{(P(a))^2}=-\sum_{k=1}^n \frac{1}{(a-x_k)^2}<0$$ donde el lado derecho es negativo porque $a, x_1,x_2,\dots,x _n$ son todos reales.

Answer 2

Esbozo de prueba: Supongamos que todas las raíces de $P$ son reales, y que $x_1\leq x_2\leq \ldots\leq x_n$ sea el $n$ raíces (con repetición si $P$ tiene raíces repetidas). ¿Qué dice el teorema de Rolle sobre las raíces de $P'$ ? ¿Cuántas raíces tiene $P'$ ¿tiene (contada con multiplicidad)? ¿Puede $P'$ tienen una raíz repetida que no es una de las $x_i$ ?

Answer 3

Supongo que $P$ no es constante, de lo contrario la afirmación es falsa: todas las raíces de la constante $a$ polinomio son reales, ya que todo se mantiene para los elementos del conjunto vacío.

Traduce el polinomio por $a$ es decir, $Q(x):= P(x-a)$ . Entonces, las condiciones pueden reformularse de la siguiente manera $Q$ de la siguiente manera: $Q(0)\neq 0$ , $Q'(0)=Q''(0)=0$ . En otras palabras, $Q(x)= a_nx^n+ \cdots +a_3x^3 + a_2x^2+a_1x+a_0$ , donde $a_0\neq 0$ y $a_1=a_2=0$ .

Escribe las fórmulas de Viete para las raíces $x_i$ :

$\prod x_i= (-1)^na_0\neq 0, \prod x_i \cdot \sum 1/x_i=0$ y $\prod x_i \cdot \sum\limits_{i\neq j} 1/(x_ix_j)=0$ .

Poner $y_i=1/x_i$ (posible, como $0$ no es una raíz, ya que el término constante es distinto de cero), entonces, tras simplificar, se obtiene $\sum y_i= \sum\limits_{i\neq j} y_iy_j=0$ pero luego $\sum y_i^2= 0$ . Así que si estos son números reales, entonces todos los $y_i$ son cero, una contradicción.