EDIT: no estoy preguntando acerca de la validez de la exponenciación, o PA. Mi pregunta es acerca de una técnica específica de reclamación que Nelson hace en este artículo (pp 9-12): que una cierta teoría no demostrar una cierta frase, y más general que la teoría no demostrar nada, de una cierta clase de oraciones. No, no estoy interesado en la matemática de la calidad, validez filosófica, el valor literario, la elección de la fuente, en general la rectitud moral, o el tamaño del zapato del artículo como un todo. Espero que mis ediciones han aclarado esto, y ahora es evidente que el contexto filosófico de esta pregunta es simplemente que: contexto.
Supongamos que somos escépticos de que la PA es de hecho consistente; quizás estamos convencidos de que además "tiene sentido" bastante seguro de multiplicación "tiene sentido", pero dudoso que la exponenciación "hace sentido" (esto parece no estar demasiado lejos de Nelson opiniones propias, con base en el artículo enlazado más arriba). Ahora se convierte en valiosa para tener una noción de relativa finitism: si aceptamos que una operación tiene sentido finitistically, ¿qué otras operaciones podemos argumentar son aceptables sólo sobre esa base?
De manera informal, queremos preguntar:
Dada funciones ajustables por el $f, g$ (growthwise en el barrio de la "aritmética habitual funciones"), podemos demostrar que, si hay un "número natural serie" cerrado bajo $f$, entonces también hay un "número natural serie" cerrado bajo $g$?
Por supuesto, la palabra "demostrar" que es peligrosa no: si nos referimos a probar en PA, estamos banalizar todo bien desde el principio, incluso si estamos seguros de PA es consistente. Por otro lado, la sustitución de PA con una disminución en la teoría parece que mendigar a la pregunta de cómo justificar la finitistic la aceptabilidad de que la teoría.
Nelson sugiere el siguiente enfoque: comenzar con el PA, pero de alguna manera de modificarlo para que se pueda imaginar inicial adecuada de los segmentos del universo que son cerrados bajo sucesor. Ahora podemos preguntar, no trivial de preguntas acerca de la existencia de "buen comportamiento inicial de los segmentos" - de forma intuitiva, "nociones de número" que permiten que las operaciones nos preocupamos de tener sentido - y podemos hacerlo desde la perspectiva de la PA, incluso sin aceptar PA!
Específicamente, Nelson considera que la teoría de la PA', en el lenguaje de la aritmética + un nuevo predicado unario símbolo $C$ (ccontar el número), que consta de PA, junto con la declaración "$C$ a la baja-cerrado, contiene $0$, e $\forall x(C(x)\implies C(x+1))$."
Aunque PA' contiene PA, todavía es muy débil en un sentido: dado que no hemos extendido el esquema de inducción para incluir fórmulas que involucran $C$, PA' no puede probar el "obvio" que la declaración de $\forall x(C(x))$ " o incluso que $C$ es cerrado bajo la adición! Por lo tanto, estamos en una situación muy interesante: por un lado, tenemos un montón de deductivo de energía a nuestra disposición desde el "ambiente PA-ness", pero por otro lado también hemos dado a nosotros mismos herramientas para la creación de contextos en los que la aritmética se rompe muy mal.
Nelson utiliza como una plataforma para pedir a la pregunta anterior en una forma rigurosa.
Reivindicación 1: Hay un definibles por el segmento inicial de $C$ que PA' demuestra es cerrado bajo la suma (y sucesores).
- Prueba: Supongamos $A=\{x\in C: \forall y\in C(y+x\in C)\}$. A la baja el cierre y cierre bajo sucesor son fáciles de demostrar. Para el cierre, además, tenga en cuenta que si $x_1,x_2\in A$$y\in C$,$y+(x_1+x_2)=(y+x_1)+x_2$, e $y+x_1\in C$ desde $x_1\in A$, lo $(y+x_1)+x_2\in C$ desde $x_2\in A$; es decir, $x_1,x_2\in A\implies x_1+x_2\in A$.
Reivindicación 2: Hay un definibles por el segmento inicial de $C$ que PA' demuestra es cerrado bajo la multiplicación (y suma y sucesor).
- Prueba: Supongamos $M=\{x\in A: \forall y\in A(y\cdot x\in A)\}$. A la baja el cierre y cierre bajo sucesor y además son fáciles de demostrar. Para el cierre, en virtud de la multiplicación, tenga en cuenta que si $x_1,x_2\in M$$y\in A$,$y\cdot (x_1\cdot x_2)=(y\cdot x_1)\cdot x_2$, e $y\cdot x_1\in A$ desde $x_1\in M$, lo $(y\cdot x_1)\cdot x_2\in A$ desde $x_2\in M$; es decir, $x_1,x_2\in M\implies x_1\cdot x_2\in M$.
Tenga en cuenta que, en cada caso, hemos utilizado la asociatividad (que es demostrado en el PA para todos los números, no sólo aquellos en los $C$; esto es como PA es "útil" contexto de nuestra finitistic preocupaciones, el punto es que "la suma es asociativa" es claramente aceptable en relación a la afirmación de que además tiene sentido en el primer lugar). Este se rompe por la exponenciación, por supuesto. Aquí Nelson hace dos reclamaciones, una explícita y otra implícita.
La afirmación de Nelson hace explícita es:
Débil demanda: PA' no puede demostrar que el conjunto $E=\{x\in M: \forall y\in M(y^x\in M)\}$ es cerrado bajo la exponenciación.
Sin embargo, parece que su verdadero punto es que este es un fundamental obstáculo, que en cierto sentido la definición de $E$ arriba es la única "razonable" de los candidatos. En otras palabras, creo que el siguiente más fuerte afirmación está implícita en Nelson de la crítica de la aritmética:
Fuerte reclamo: PA' no puede demostrar que no es definible segmento inicial de $C$ cerrado bajo la exponenciación. (Más precisamente: no hay ninguna fórmula $\varphi$ en el lenguaje de la PA' que la PA' demuestra que $\varphi$ define un segmento inicial de $C$ que es cerrado bajo la exponenciación.)
Mi pregunta es:
Pregunta: ¿Son estas afirmaciones correctas?
Estoy especialmente interesado en la fuerte demanda, ya que parece ser la más significativa y positiva respuesta habría plausible valor fundamental; sin embargo, la débil demanda es probablemente más fácil de analizar, y es también el único reclamo de Nelson explícitamente formuladas.
Permítanme mencionar, por una motivación adicional, dos posibles "spin-off" de preguntas que pueden ser de interés:
En primer lugar, podríamos sustituir PA con una diferente teoría de la aritmética. Esto tendría el efecto de cambiar lo aritmética de los resultados podríamos utilizar para establecer la existencia de una definibles por el corte por debajo de $C$ con ciertas propiedades en cierre. De los argumentos anteriores solo se necesita el más básico de los bits de la aritmética, pero posiblemente más complicado argumento podría requerir una cantidad no trivial de la inducción. Si, de hecho, la sustitución de PA con una diferente teoría de la aritmética iba a cambiar la situación, que sería realmente genial, incluso si la fundamental importancia no es obvio.
En segundo lugar, podemos "relativizar" Nelson de la construcción. Decir que definibles (en el lenguaje de la PA)en función de $f$ es finitistic en relación a otra función definibles $g$ si no hay una fórmula $\varphi$ en el idioma de PA$_g$ - que es la teoría que consiste en PA, junto con un predicado unario símbolo $G$, y los axiomas diciendo que $G$ nombres descendente-conjunto cerrado cerrado bajo sucesor y $g$ - que PA$_g$ demuestra define a la baja-conjunto cerrado cerrado bajo sucesor y $f$. Relativa finitism parece potencialmente interesante (y posiblemente relacionada con delimitada aritmética), incluso de un país que no finitistic punto de vista, especialmente si, por arriba de puntos el "ambiente de la aritmética" de manera significativa puede afectar a la situación.
