Estrategia para el tablero de juego

Question

Alice y Bob están jugando el juego siguiente: Tienen un 4x4 rejilla vacía y tomar turnos para colorear de una plaza cada uno, empezando con Alice, ambos con el mismo color. Quien completa cualquier área de 2x2 en la red (después de haber hecho su fichaje) es el perdedor. ¿Hay alguna estrategia ganadora para alguno de los dos jugadores?

He jugado el juego varias veces y no se puede ver una clara estrategia para cualquiera de los dos. A mí me parece que Bob va a perder.

Alguna idea?

Answer 1

Si Alice selecciona un cuadrado de $(i,j)$, Bob debe elegir $(i+2,j)$. De esta manera, él nunca se completa con una plaza antes de que Alice no, y por lo tanto, Bob siempre va a ganar. Por supuesto, modulo 4 es necesario con esta estrategia.

Asimismo, una estrategia de $(i,j+2)$ han trabajado. Tenga en cuenta que estas estrategias son siempre posibles, debido a que rellenar la cuadrícula con particular pares.

En el caso de una $n \times n$ cuadrícula para valores impares de $n=2 m + 1$, no es una estrategia ganadora para Alice. Si ella comienza con $(m,m)$ como la primera plaza, y responde a cualquier elección $(i,j)$ de Bob jugando $(2 m -i,2 m-j)$, Bob va a hacer la primera $2\times2$ plaza. Este enfoque también puede ser generalizada para rejillas rectangulares, y se traducirá en una estrategia ganadora para Alice cuando ambas dimensiones son impares.

Gracias a @Felipe por señalar que el emparejamiento $(i,j)$ $(i+2,j+2)$ no trabajo en el $4\times4$ cuadrícula, porque la elección de las 4 esquinas por Alice crear una plaza central realizada por Bob.

Gracias a @Carmeister por señalar que una generalización incluso para valores de $n=2m$ por la vinculación de la plaza de la $(i,j)$ de Alice Bob tomar $(i+m,j)$, también no ser exitoso, por la misma razón. Mediante la elección adecuada de plazas (esta vez no en las esquinas) Alice podría obligar a Bob para que una plaza central, así si se pegaría a esta estrategia en particular.

Así que la cuestión de la existencia/ausencia de una estrategia ganadora para incluso lados de la plaza rejillas de más de $4\times4$ todavía está abierta.

Answer 2

A mi modo de ver Alicia gana el primer tiempo. Porque el 'cuadrado', los colores pueden ser de cualquier tamaño 2by 2, 3by 3 o 4by 4, no obtiene una 2ª oportunidad a color.