Un grupo finito tal que cada elemento es conjugado a su cuadrado es trivial

Question

Supongamos que $G$ es un grupo finito tal que $g$ es conjugado con $g^2$ por cada $g\in G$ .

Aquí hay una prueba de que $G$ es trivial. En primer lugar, observe que si $\lvert G\rvert$ es par, entonces $G$ contiene un elemento $h$ de orden $2$ En ese caso, $h$ es conjugado con $h^2=1$ . Pero esto implica que $h=1$ Así que $h$ no tiene orden $2$ . Por contradicción, $\lvert G\rvert$ es impar. Entonces, por el teorema de Feit-Thompson, $G$ es solucionable. En particular, esto significa que la serie derivada de $G$ termina. Sin embargo, para cualquier $g$ en $G$ existe $a\in G$ tal que $g^2=aga^{-1}$ es decir, $g=aga^{-1}g^{-1}\in G^{(1)}$ . De ello se desprende que $G^{(1)}=G$ . De hecho, esto demuestra que $G^{(n)}=G$ para todos $n\geq 1$ . Dado que la serie derivada de $G$ termina, esto implica que $G$ debe ser trivial.

Aunque estoy convencido del resultado, esta prueba no me satisface especialmente, ya que se basa en Feit-Thompson. ¿Existe una prueba elemental de que $G$ ¿es trivial?

Answer 1

Como tú dices, $G$ debe tener orden de impar. Deja que $p$ sea el factor primo más pequeño del orden de $G$ y $a$ un elemento de orden $p$ . Dejemos que $H$ sea el subgrupo generado por $a$ , $C$ sea el centralizador de $H$ y $N$ el normalizador de $H$ . Entonces $r=|N:C|$ es el número de elementos de $H$ que son conjugados de $a$ . Así que $r<p$ pero $r>1$ , como $a^2\ne a$ es el conjugado de $a$ . Pero $r\mid |G|$ y $1<r<p$ , contradiciendo $p$ siendo el factor (primo) más pequeño de $|G|$ .

Answer 2

Sólo para añadir a la respuesta de Lord Shark, si tiene curiosidad, vea el Lemma 5.1 del artículo de Gabriel Navarro, La conjetura de McKay y los automorfismos de Galois , Anales de Matemáticas, 160 (2004), 1129-1140.