¿Por qué es $\mu(E)=0$ ?

Question

(Teorema de Ergoden) Dejemos que $(\Omega,\mathcal{A},\mu,T)$ sea un sistema dinámico ergódico y $f\in L_{\mu}^1$ . Entonces $$ \lim_n \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\circ T^k=\int f\, d\mu~~\text{a.s.} $$

Prueba.

Establecer $S_nf=\sum_{k=0}^{n-1}f\circ T^k$ . Definir $E:=\left\{\limsup_n\frac{1}{n}S_n f > \varepsilon\right\}$ . Ahora se demuestra que $E=\left\{\sup_n S_ng> 0\right\}$ para $g=(f-\varepsilon)1_E$ .

Con Hopf y Lebesgue se demuestra que $$ \mu(E)\leq\int_E f\, d\mu / \varepsilon.~~~(*) $$

Ahora la argumentación es:

$E$ es $T$ -y el sistema es ergódico, por lo que resulta $\mu(E)=0$ .

No veo por qué al final se deduce de (*) que $\mu(E)=0$ .

Answer 1

Parece que en algún momento de la prueba (probablemente al principio) se asumió sin pérdida de generalidad que $\displaystyle\int_\Omega f\,\mathrm d\mu=0$ .

La invariabilidad de $E$ por $T$ y la ergodicidad de $T$ implican que $\mu(E)=0$ o $\mu(E)=1$ . Si $\mu(E)=1$ entonces $\displaystyle\int_E f\,\mathrm d\mu=\int_\Omega f\,\mathrm d\mu=0$ por lo que $(\ast)$ implica que $\mu(E)\leqslant0$ lo cual es absurdo. Así, $\mu(E)=0$ .