Encontrar las dos raíces cuadradas de $i$

Question

Tengo esta pregunta estoy perplejo por mi Prueba-Examen:

Escribir $i$ como un número complejo en forma polar. Utilice el resultado y el Teorema de DeMoivre para encontrar la raíz cuadrada de $i$.

Llegué a la primera pregunta:

$i = a + bi$

$0 + 1i$

$z = \sqrt{0 ^ 2 + 1 ^ 2}$

$z = 1$

$\Theta = \tan^-1(y/x)$

$\Theta = \tan^-1(0/1)$

$\Theta = 90^\circ$

Por lo tanto... la respuesta es $1 \cdot cis(90)$... Ok tengo que pero el teorema de Demoivre y la sqrt yo no podía entender... Esta es la respuesta.. desde anwser clave:

a) $cis(90^\circ)$

b) $cis(45 ^\circ) , circ(225 ^\circ)$

Estoy siguiendo

Mi maestro sigue la misma manera como esta: http://hotmath.com/hotmath_help/topics/polar-form-of-a-complex-number.html

Las Fórmulas Disponibles

Answer 1

Bueno, he tratado de hacer mi mejor antes... pero ir a través de este paso por paso.

$z_1 = a + i\,b\\ z_2 = x + i\,y \\ z_1z_2 = (a + i\,b)(x + i\,y) = (ax + i\,bx + i\,ay + i^2\,)$

$i^2 = -1$, y se puede combinar el $i$ términos.

$z_1z_2 = (ax - by) + i\,(ay + bx)$

Bien, si ya estás perdido vuelva a leer esto.

Si $z_1$ $z_2$ están en polar...

$z_1 = \rho_1 (\cos \theta + \sin\theta)\\ z_2 = \rho_2 (\cos \phi + i \sin\phi)\\ z_1z_2 =\rho_1\rho_2 (\cos\theta\cos\phi \sin\theta \sin\phi + i(\sin\theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi)$

Este es el mismo multiplicación que hicimos en coordenadas rectangulares. Pero observe cómo esto se vincula a la de la suma de ángulos fórmulas para $\cos$ $\sin$

$z_1z_2 =\rho_1\rho_2 (\cos(\theta+\phi) + i\sin(\theta+\phi))$

Cuando multiplicamos los números complejos añadimos los ángulos! Esto es particularmente notorio en forma polar, pero es igual de cierto en forma Cartesiana.

$z^2 = z\cdot z =$$ \rho (\cos \theta + \sin\theta)\rho (\cos \theta + \sin\theta)\\ \rho^2 (\cos 2\theta + i \sin2\theta)\\$

De Moivre del teorema:

$z^n = \rho^n (\cos n\theta + i \sin n\theta)$

y funciona igual de bien cuando se $n$ es una fracción como cuando se $n$ es un número entero.

$\sqrt z = z^{1/2}$

$\sqrt z = \pm \rho^{1/2} (\cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}2)$

Todo lo que hasta este punto es en realidad en su hoja de trampas de condensado. Pero en lugar de simplemente memorizar la fórmula, tratar de entender lo que realmente está pasando, y donde los de la fórmula.

Y para el problema en cuestión:

$z = 0 + i\\ z = (\cos 90 + i \pecado 90)\\ z^{1/2} = \pm (\cos 45 + i \pecado 45)\\ z^{1/2} = (\cos 45 + i \pecado 45), (\cos 225 + i \pecado 225)$

Material avanzado: Esto no es algo que se espera para saber en precaluculs, pero si haces la pregunta en este foro la gente puede asumir que usted sabe esto.

Números complejos en forma polar se puede traducir en forma exponencial de la siguiente manera:

$z = \rho e^{i\theta}\\ z^n = \rho^n e^{i\theta n}\\ z^{1/n} = \rho^\frac1n e^{\frac{i\theta}{n}}\\ $

Answer 2

Solución $1$

Deje $z=x+iy\in \Bbb C$ tal que $z^2=i$. a continuación,$z^2=x^2-y^2+2xyi=i$. De ello se sigue que

$$ x^2=y^2\iff x=\pm y\\ 2xyi=i \iff x=\frac 1 {2y} $$

A continuación, $x=\pm\frac 1 {2x}$, obtenemos que $x=\pm\sqrt2/2$ , por lo que tenemos $z_1=\sqrt 2/2+\sqrt 2 /2i$, $z_2=-z_1$.

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Tener el $x,y$ coordenadas, usted puede poner estos números en forma polar si usted por favor.

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Solución $2$

Deje $z=r \operatorname{cis}(\theta)$. Queremos $z^2=i$, pero $z^2=r^2 \operatorname{cis}(2\theta)$.

Ahora, $|i|=1$, $|z^2|=r^2$ y como queremos que $z^2=i$, tenemos $r^2=1$, yo.e $r=1$.

La comparación de los ángulos de ahora, tenemos $2\theta=90^\circ+360^\circ k$, $\theta=45^\circ+180^\circ k$ o $\theta_1=45^\circ,\theta_2=225^\circ$ (tenga en cuenta que si añades más $180^\circ$s, volvemos $45,225,45,\cdots$.

Así que las dos raíces cuadradas de $i$$z_1=1\cdot \operatorname{cis}(45^\circ)$$z_2= 1\cdot \operatorname{cis}(225^\circ)$.

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Le sugiero que deje de buscar en sus fórmulas y empezar a pensar en el problema sin ellos, como se muestra aquí, no son necesarios, el sólo hecho de que 'saber' fue que $i$'s ángulo es $90^\circ$.

Answer 3

Ha $i = e^{i\pi/2}$ por lo que este tiene dos raíces cuadradas, $e^{i\pi/4}$ $-e^{i\pi/4} = e^{5i\pi/4}.$

Answer 4

En general, vamos a $z=x+iy$ donde $x$ $y$ son reales-valores de los números. Podemos expresar $z$ en Coordenadas Polares como $z=\sqrt{x^2+y^2}e^{i\arctan(x,y)}$ cuando la Función Arcotangente $\arctan(x,y)$ está dado por

$$ \arctan(x,y)=\begin{cases} \arctan(y/x)&,x>0\\\\ \pi+\arctan(y/x)&,x<0,y>0\\\\ -\pi+\arctan(y/x)&,x<0,y<0\\\\ \pi/2&,x=0,y>0\\\\ -\pi/2&,x=0,y<0 \end{casos}$$

Entonces, la raíz cuadrada de $z$, $z^{1/2}$ es uno de los dos valores

$$z^{1/2}=\pm (x^2+y^2)^{1/4}e^{i\arctan(x,y)/2} \tag 1$$

Podemos convertir $z^{1/2}$ a coordenadas rectangulares utilizando la Identidad de Euler en $(1)$. Procediendo en consecuencia da

$$\begin{align} z^{1/2}&=\pm (x^2+y^2)^{1/4}\left(\cos\left(\frac12 \arctan(x,y)\right)+i\sin\left(\frac12\arctan(x,y)\right)\right)\\\\ &=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}}\pm i\,\text{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}}\tag 2 \end{align}$$

donde en llegando a $(2)$ hemos utilizado la Mitad de Ángulo Fórmulas para el seno y el coseno funcitons.

La aplicación de $(2)$ para el caso de que $x=0$$y=1$, nos encontramos con que

$$\sqrt{i}=\pm\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$