Aplicaciones de Números Complejos

Question

Para mi curso de Análisis Complejo, debemos buscar aplicaciones de los Números Complejos en el mundo real. El semestre acaba de comenzar y todavía soy nuevo en el campo complejo. Quiero adelantarme en mi investigación para el curso. Todo lo que he visto sobre el campo complejo ha sido solo de pasada en otros cursos como Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Álgebra Lineal y Álgebra Abstracta. Me preguntaba si alguien podría guiarme en la dirección correcta sobre qué aplicaciones de números complejos puedo investigar para mi tema de investigación. Libros recomendados a los que pueda referirme también ayudarían.

Gracias por su tiempo y gracias de antemano por sus comentarios.

Answer 1

Los números complejos se usan bastante en ingeniería eléctrica. Los condensadores y los inductores se comportan como resistencias con una magnitud compleja. Uno tiene unidades como volt-amperios (potencia reactiva), versus vatios (potencia real).

Por otro lado, cuando ves en relatividad, $x^2+y^2+z^2+(ict)^2$ como una distancia, la $i$ no cumple el mismo papel que el número complejo, ya que nunca encuentras algo similar a por ejemplo $2+i$. La relatividad, y el electromagnetismo del que se deriva, en realidad se basa en cuaterniones, o ''vectores cuádruples'' en lugar de números complejos.

Answer 2

Te resultaría difícil encontrar ejemplos de cantidades de la vida real que estén mejor explicadas por números complejos que por los números reales, pero hay muchas fenómenos de la vida real que, aunque se observan en la recta numérica real, pueden ser explicados mucho mejor y, a pesar de su nombre, simplificados a través de las matemáticas de los números complejos. Esto se ve mucho en la Física.

Answer 3

En primer lugar, los números complejos son una herramienta matemática para resolver ecuaciones complicadas de una manera agradable.

En particular, simplifican mucho si quisieras calcular el comportamiento de resistencias, condensadores e impedancias si quisieras usarlos con corriente alterna (que generalmente sale de tu suministro de energía). Este tipo de cálculos se pueden hacer sin números complejos, pero involucrarían funciones seno y coseno difíciles de manejar. Con números complejos, uno puede usar $$e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i \sin(\omega t),$$ y las cosas se pueden manejar utilizando números complejos.

Este enlace está tomado de una pregunta anterior y explica cómo se utilizan los números complejos en ingeniería eléctrica.

Answer 4

Un buen lugar para buscar una lista de aplicaciones de números complejos sería el artículo de Wikipedia sobre números complejos (Incluso tienen una sección sobre aplicaciones).

Uno de esos que vale la pena señalar es el uso de números complejos en la Mecánica Cuántica, en particular en la ecuación de Schrödinger.

Answer 5

$i$ es un operador de rotación, por lo que $i$ (y $j$ y $k$) se pueden utilizar para modelar rotaciones de un cuerpo rígido en el espacio. Busca cuaterniones.