¿Qué son las ecuaciones para la imagen de un algebraicamente subconjunto definido bajo el Segre incrustación?

Question

Deje $\psi: \mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^s \to \mathbb{P}^N$ ser el Segre y la incrustación de con $N = rs + r + s$, como en Hartshorne ejercicio I. 2.14. Para ser explícitos: la imagen de la pareja $([a_0 : \ldots : a_r], [b_0 : \ldots : b_s])$ $[\ldots : a_ib_j : \ldots]$ en lexicográfica del orden. Deje $[z_{00} : \ldots : z_{rs}]$ ser homogénea coordenadas en $\mathbb{P}^N$. A partir de la prueba de que $\operatorname{im} \psi$ es una subvariedad de $\mathbb{P}^N$ sé que es el cero, el locus de los polinomios $z_{ij}z_{kl} - z_{il}z_{kj}$. Pero, ¿qué son las ecuaciones para $\psi(X) \subset \mathbb{P}^N$ donde $X$ es un subconjunto de a $\mathbb{P}^r \times \mathbb{P}^s$ definido en una expresión algebraica?

Más concretamente: tengo dos cónicas $C = Z(f) \subset \mathbb{P}^2$ y $D^* = Z(g^*) \subset \mathbb{P}^2$ ($D^*$ es el doble cónica de la cónica $D = Z(g)$). Quiero investigar la estructura de la incidencia de la correspondencia $X = \{(p,\ell) \in C \times D^* : p \in \ell\}$. Esto puede ser descrito como el conjunto de pares $([x:y:z],[a:b:c]) \in \mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$ tal que $f(x,y,z) = 0$, $g^*(a,b,c) = 0$, y $ax + by + cz = 0$. Este incrusta en $\mathbb{P}^8$ a través del Segre de la incrustación. ¿Qué son las ecuaciones para$\psi(X)$$\mathbb{P}^8$?

Sé que $\psi(([x:y:z],[a:b:c])) = [ax : bx : cx : ay : by : cy : az : bz : cz]$. Por lo tanto (creo) $\psi(X) = \psi(C \times D^*) \cap Z(z_{00} + z_{11} + z_{22})$. Pero, ¿cómo puedo expresar $\psi(C \times D^*)$ en términos de estas nuevas coordenadas? Para $C$ necesito $f(z_{00}, z_{10},z_{20}) = 0$ o $f(z_{01},z_{11},z_{21}) = 0$ o $f(z_{02}, z_{12}, z_{22}) = 0$, o algo completamente diferente?

Gracias de antemano.

Edit: con el hecho de que todas las cónicas son isomorfos y el 2-uple la incrustación de hecho, me pueden asumir $C = D^* = \mathbb{P}^1$ (Hartshorne ejercicio I. 3.1(c)). ¿Qué la incidencia de la correspondencia se convierten entonces, y después de que el Segre incrustación de cómo puede ser descrito en coordenadas homogéneas en $\mathbb{P}^3$?

Answer 1

Voy a hablarles de las ecuaciones para el corte de $\psi(C\times \mathbb P^2) $ desde el Segre variedad $S\subset \mathbb P^8$.
Hay un resultado similar para $\psi(\mathbb P^2 \times D^*)$ y desde $\psi(C \times D^*)=\psi(C\times \mathbb P^2)\cap \psi(\mathbb P^2 \times D^*)$ que se realiza mediante la adición de su perfectamente correcto de la ecuación de $z_{00} + z_{11} + z_{22}=0$ .

Así que vamos a averiguar $\psi(C\times \mathbb P^2)\subset S=\psi(\mathbb P^2\times \mathbb P^2)\subset \mathbb P^8 \:.$
El diabólico truco es para reemplazar la ecuación de $f(x,y,z)=0$ por las tres ecuaciones $$f(x,y,z)\cdot a^2=0,f(x,y,z)\cdot b^2=0,f(x,y,z)\cdot c^2=0 $$ The equivalence of this system with $f(x,y,z)=0$ is due to the fact that we can't have simultaneously $a^2=b^2=c^2=0$. Las ecuaciones en el sistema puede ser traducido en ecuaciones en las variables $z_{ij}$.
Veamos un ejemplo :
Supongamos $f(x,y,z)=xy+yz+zx$. Entonces decimos que la $xy+yz+zx=0$ es equivalente al sistema de $$(xy+yz+zx)\cdot a^2=0,(xy+yz+zx)\cdot b^2=0,(xy+yz+zx)\cdot c^2=0 \quad (SYST) $$
Escrito $(xy+yz+zx)\cdot a^2=axay+ayaz+azax$ etc. el sistema anterior $(SYST)$ se convierte en $$z_{00} z_{10} + z_{10}z_{20} +z_{20}z_{00}=0,z_{01} z_{11} + z_{11}z_{21} +z_{21}z_{01}=0, z_{02} z_{12} + z_{12}z_{22} +z_{22}z_{02}=0 $$ These three equations, joined of course to the equations $z_{ij}z_{kl} - z_{il}z_{kj}=0$ for the Segre embedding, define the subvariety $$\psi(C\times \mathbb P^2)\subset S=\psi(\mathbb P^2\times \mathbb P^2)\subset \mathbb P^8 \:.$$