¿Cuáles son las restricciones sobre la matriz de covarianza de un positivo multivariante de distribución.

Question

Esta pregunta es un paso en la contestación de esta pregunta en las estadísticas.se.

Dada una distribución de $F(X_1,\ldots,X_n)$ sobre el positivo orthant $\mathbb{R}_+^n$ (es decir, cada uno de los marginales es compatible con los reales no negativos). Donde la media de cada uno de los marginales es 1 (es decir, $E(X_i)=1$ todos los $i$). ¿Cuáles son las restricciones sobre la matriz de covarianza (suponiendo que exista, otros que positiva semi-definición)?

La idea es ser capaz de reconocer una matriz de covarianza como proveniente de un nonegative multivariante de distribución. Por ejemplo, $\pmatrix{4&-3\\-3& 4}$ es perfectamente matriz de covarianza, es simétrica y definida positiva, pero no puede venir de un no-negativo multivariante ditribution con una media de $\mathbf 1$ porque $\text{Cov}(X_1,X_2)=E(X_1X_2)-1\ge-1$ $E(X_1X_2)$ es positivo. Estoy seguro de que esta no es la única restricción.

Answer 1

Odio a responder a mis propias preguntas, pero nadie más lo está haciendo.

Resulta que las únicas restricciones sobre la matriz de covarianza se que es positiva definida y que $\text{Cov}(X_i,X_j)>-1$. Como se demuestra en la respuesta a la pregunta relacionada, dada una matriz de covarianza satisfacer estas restricciones, una distribución logarítmico-normal con una media de $\mathbf{1}$ puede ser construido de haber especificado la covarianza.

Answer 2

Estás suponiendo que la matriz de covarianza existe? $E[X_i]=1$ no es suficiente para asegurar esto.

De lo contrario, hay casos en los que la matriz de covarianza no está bien definida. Por ejemplo, si $X_i\sim G$; en caso de $G$ es la CDF de $X/c$, $X$ tiene un Estudiante-$t$ distribución $1.5$ grados de libertad truncada por debajo de $0$, $c=E[X]\approx 2.04$. Esto implica que $E[X_i]=1$, pero sus diferencias no existen y, en consecuencia, la matriz de covarianza no existe.