Límite de $\frac{1}{n}\sum\limits_{i =2}^n \frac{1}{\ln i}$ como $n \to \infty$

Question

Para la secuencia $a_n =\frac{1}{n}\sum_{i =2}^n \frac{1}{\ln i}$ (con $n \ge 2$ ), me gustaría determinar si el límite existe y, si es así, encontrar su valor.

Algunas observaciones que he hecho hasta ahora: la comparación integral no parece ayudar tenemos $a_n \le \sum_{i = 2}^n \frac{1}{i\ln i}$ . Pero, por comparación integral, esta suma diverge como $n \to \infty$ . Para tener un control concreto del problema, he calculado algunos valores de la secuencia y he encontrado $a_{10} \approx .61$ , $a_{100} \approx .3$ . Así que la serie parece acercarse $0$ . ¿Hay algún truco de análisis estándar que me esté perdiendo o se necesita alguna técnica más avanzada para establecer el límite?

Answer 1

Dejemos que $b_n\to0$ y, para cada $n\geqslant2$ , $a_n=\frac1n\sum\limits_{i=2}^nb_i$ . Entonces, para cada $\varepsilon\gt0$ , $|b_n|\leqslant\varepsilon$ por cada $n\geqslant N_\varepsilon$ por lo que $|a_n|\leqslant\frac1n\left|\sum\limits_{i=2}^{N_\varepsilon-1}b_i\right|+\frac1n\sum\limits_{i=N_\varepsilon}^n|b_i|\leqslant\frac1n\,N_\varepsilon|a_{N_\varepsilon}|+\varepsilon$ y $\limsup\limits_{n\to\infty}|a_n|\leqslant\varepsilon$ . Así, $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$ .

Utiliza esto para $b_n=\frac1{\log n}$ .

Answer 2

$$\sum_{j=2}^n\frac{1}{\log j}=\sum_{j=2}^k\frac{1}{\log j}+\sum_{j=k+1}^n\frac{1}{\log j}\leq\dfrac{k}{\log 2}+\dfrac{n-k}{\log k}$$ Ahora elige $k=[\log n]$ y encontramos que el límite es $0$ .

Answer 3

Puede utilizar la técnica de suma de Abel de aquí para derivar la asintótica. Tenemos \begin{align} S_n & = \sum_{k=2}^n \dfrac1{\log(k)} = \int_{2^-}^{n^+} \dfrac{d \lfloor t \rfloor}{\log(t)} = \dfrac{n}{\log(n)} - \dfrac2{\log(2)} + \int_2^{n} \dfrac{dt}{\log^2(t)}\\ & \leq \dfrac{n}{\log(n)} - \dfrac2{\log(2)} + \int_2^{n} \dfrac{dt}{\log^2(t)} =\dfrac{n}{\log(n)} - \dfrac2{\log(2)} + \int_2^{3} \dfrac{dt}{\log^2(t)} + \int_3^{n} \dfrac{dt}{\log^2(t)}\\ &\leq \dfrac{n}{\log(n)} \overbrace{- \dfrac2{\log(2)} + \int_2^{3} \dfrac{dt}{\log^2(t)}}^{\text{constant}} + \dfrac1{\log(3)}\int_3^{n} \underbrace{\dfrac{dt}{\log(t)}}_{\leq S_n}\\ \end{align} Hemos conseguido que $$S_n \leq \dfrac{n}{\log(n)} + \text{constant} + \dfrac{S_n}{\log(3)} \implies S_n \leq \dfrac{\log(3)}{\log(3)-1} \left(\dfrac{n}{\log(n)} + \text{constant}\right) \tag{$ \N - La estrella $}$$ Por lo tanto, obtenemos que $$\dfrac{S_n}n \leq \dfrac{\log(3)}{\log(3)-1} \left(\dfrac1{\log(n)} + \dfrac{\text{constant}}n\right)$$ Ahora toma el límite para obtener la respuesta como $0$ . Por supuesto, se podrían derivar mejores límites para $(\star)$ .