¿Por qué es $L^{1} \cap L^{\infty}$ es denso en $L^{p}$?

Question

Se menciona que el uso de la interpolación de la desigualdad

$$\Vert f \Vert_{p} \leq \Vert f \Vert^{1/p}_{1} \Vert f \Vert_{\infty}^{1-1/p}$$

uno puede deducir que el espacio de $L^{1} \cap L^{\infty}$ es denso en $L^{p}$. ¿Alguien sabe el truco detrás de esto? Gracias !

Answer 1

Deje $f\in L^p(X)$ donde $X$ es una medida de espacio, y establecer $$ f_n(x)=\left\{\begin{array}{lll} f(x) & \text{if} & \frac{1}{n}\le |f(x)|\le n, \\ 0 & \text{if} & |f(x)|> n \,\,\text{or}\,\,|f(x)|<\frac{1}{n}. \end{array} \right. $$ Claramente $f_n\in L^\infty(X)$$\|f_n-f\|_p\to 0$. La última es una consecuencia de Lebesgue Teorema de Convergencia Dominada, como $f_n(x)\to f(x)$, para cada $x\in X$$|f_n(x)|\le |f(x)|$.

También, el hecho de que $|f_n(x)|\ge \frac{1}{n}$, implica que el $|f_n(x)|^{p-1}\ge \frac{1}{n^{p-1}}$ y en total $|f_n(x)|^{p}\ge n^{-1/{p-1}}|f_n(x)|$. Así $$ \int_X |f_n| \le n^{-1/(p-1)}\int_X |f_n|^p. $$ Así arbitrariamente cerca de $f\in L^p(X)$, en el $L^p$-norma, podemos encontrar una $f_n\in L^1\cap L^\infty$.

Nota. Esto es cierto para CUALQUIER medir el espacio $X$.

Answer 2

La desigualdad implica $L^1\cap L^\infty\subset L^p$.

La densidad es claro entonces, que el espacio $C_0^\infty$ de forma compacta compatible suave funciones es denso en $L^p$ por cada $\infty>p\ge 1$$C_0^\infty\subset L^1\cap L^\infty$.