$\lim_{x\to\infty} x^2\operatorname{cos}\left(\frac{3x+2}{x^2}-1\right)$ sin el uso de L'Hôpital.

Question

Puedo calcular el siguiente límite sin aplicar L'Hôpital?

$$\lim_{x\to\infty} x^2\operatorname{cos}\left(\frac{3x+2}{x^2}-1\right)$$

Con L'Hôpital me da como resultado $\frac{-9}{2}$.

Answer 1

Desde $$\lim_{x\to\infty} \operatorname{cos}\left(\frac{3x+2}{x^2}-1\right)=\cos1>0,$$ obtenemos

$$\lim_{x\to\infty} x^2\operatorname{cos}\left(\frac{3x+2}{x^2}-1\right)=+\infty$$

Tal vez lo que quieres decir $$\lim_{x\to\infty} x^2\operatorname{cos}\left(\frac{3x+2}{x^2}-\frac{\pi}{2}\right)=\infty?$$

Answer 2

Tenemos que encontrar el límite de :

$$\lim\limits_{x \to \infty}x^2(cos(\frac{ax+b}{x^2})-1)=?$$

Si ponemos la sustitución de $x=\frac{1}{y}$ y el uso de la fórmula $1-2sin(x)^2=cos(2x)$ obtenemos : $$\lim\limits_{y \to 0}\frac{-2sin(\frac{(ay+by^2)}{2})^2}{y^2}$$ Que equivale a : $$\lim\limits_{y \to 0}\frac{(ay+by^2)^2}{4}\frac{-2sin(\frac{(ay+by^2)}{2})^2}{y^2\frac{(ay+by^2)^2}{4}}$$ O $$\lim\limits_{y \to 0}\frac{-sin(\frac{(ay+by^2)}{2})^2}{\frac{(ay+by^2)^2}{4}}=-1$$ Porque : $\lim\limits_{z \to 0}\frac{sin(z)}{z}=1$

Por lo tanto tenemos :

$$\lim\limits_{y \to 0}\frac{(ay+by^2)^2}{4}\frac{-2sin(\frac{(ay+by^2)}{2})^2}{y^2\frac{(ay+by^2)^2}{4}}=\lim\limits_{y \to 0}\frac{(ay+by^2)^2}{4}\frac{-2}{y^2}=\frac{-a^2}{2}$$

Answer 3

Yo creo que él quiere escribir y resolver esta $$\lim_{x\to\infty} x^2(cos(\frac{3x+2}{x^2})-1)=\frac{-9}{2}$$ esto se puede resolver multiplicando por el conjugado $$\quad{\lim_{x\to\infty} x^2(cos(\frac{3x+2}{x^2})-1)=\\ \lim_{x\to\infty} x^2(cos(\frac{3x+2}{x^2})-1)\times \frac{cos(\frac{3x+2}{x^2})+1}{cos(\frac{3x+2}{x^2})+1}=\\ \lim_{x\to\infty} x^2(-\sin^2(\frac{3x+2}{x^2}))\times \frac{1}{cos(\frac{3x+2}{x^2})+1}=\\}$$ como $x\to \infty \implies \sin(\frac{3x+2}{x^2})\to 0 \implies \sin(\frac{3x+2}{x^2})\sim \frac{3x+2}{x^2}\\$, por lo que $$\quad{\lim_{x\to\infty} x^2(-\sin^2(\frac{3x+2}{x^2}))\times \frac{1}{cos(\frac{3x+2}{x^2})+1}=\\ \lim_{x\to\infty} -x^2(\frac{3x+2}{x^2})^2\times \frac{1}{cos(\frac{3x+2}{x^2})+1}=\\ \lim_{x\to\infty} -(\frac{(3x+2)^2}{x^2})\times \frac{1}{cos(\frac{3x+2}{x^2})+1}=\\\lim_{x\to\infty} -(\frac{9x^2+12x+4}{x^2})\times \frac{1}{cos(\frac{3x+2}{x^2})+1}=\\ \lim_{x\to\infty} -(\frac92)\times \frac{1}{cos(\frac{3x+2}{x^2})+1}=\\ -(\frac92)\times \frac{1}{cos(0)+1}=\\\frac{-9}{2}}$$