Tengo las longitudes de los tres lados de un triángulo acutángulo ABC, como se muestra a continuación. Asumir un punto P sobre el lado AB tales que, si P es la proyección de P sobre BC, R es la proyección de P sobre CA, P se convierte en la proyección de R sobre AB. ¿Cómo puedo Encontrar la longitud de la PB.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
runeh
Puntos
1304
Aquí es otro enfoque, que trabaja directamente y de forma sistemática. Llame a los ángulos del triángulo $A, B, C$ y los lados opuestos a aquellos ángulos $a, b, c$. Utilizamos el coseno de la regla de $a^2=b^2+c^2-2bc \cos A$, de modo que $\cos A=\cfrac {a^2+b^2+c^2-2a^2}{2bc}$ y si defino $2d^2=a^2+b^2+c^2$$\cos A=\cfrac {d^2-a^2}{bc}, \cos B=\cfrac {d^2-b^2}{ac}, \cos C=\cfrac {d^2-c^2}{ab}$.
Vamos a BP=p.
A continuación, $$p=c-AP=c-AR\cos A= c-(b-CR)\cos A=c-b\cos A+CR\cos A=$$
$$=c-b\cos A+CQ\cos C\cos A=c-b\cos A+(a-BQ)\cos C\cos A=$$
$$=c-b\cos A+a\cos A\cos C-BQ\cos A\cos C=$$
$$=c-b\cos A+a\cos A\cos C-p\cos A\cos B\cos C$$
Así que $$p\left(1+\cos A\cos B\cos C\right)=c-b\cos A+a\cos A\cos C=$$$$=c-\frac {d^2-a^2}c+\frac {d^2-a^2)(d^2-c^2)}{b^2 c}=\frac {b^2 c^2-b^2d^2+b^2a^2+d^4-^2d^2-c^2d^2+a^2c^2}{b^2 c}$$
Ahora con $a^2+b^2+c^2=2d^2$ esto es igual a $$\frac {a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2-d^4}{b^2c}$$
También tenemos $$1+\cos A\cos B\cos C=\frac {a^2b^2c^2+d^6-(a^2+b^2+c^2)d^4+(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)d^2-a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}=\frac {d^2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-d^4)}{a^2b^2c^2}$$
Así que cancela todo muy bien para que dé $$p=\frac {a^2c}{d^2}=\frac {2a^2c}{a^2+b^2+c^2}$$
Voy a empezar con las coordenadas, la elección de uno de los bordes de longitud igual a $1$ w.l.o.g.:
$$B=(0,0) \qquad A=(x,y) \qquad C=(1,0) \qquad P=\lambda A+(1-\lambda)B$$
con $y\neq 0$ y algunos $\lambda\in[0,1]$ tendremos que determinar. A continuación, el uso de algunos de cálculo (que yo hice con geometría proyectiva, pero hay otras maneras), se obtiene
$$ R=(x^3\lambda + xy^2\lambda - x^2\lambda - y^2\lambda + y^2, y (x^2\lambda + y^2\lambda - x))/(x^2 + y^2 - x) \\ Q=(x^4\lambda + 2x^2y^2\lambda + y^4\lambda - 2x^3\lambda - 2xy^2\lambda + x^2\lambda + y^2\lambda - y^2,0)/((x - 1)(x^2 + y^2 - x)) $$
La línea de $QP$ entonces es ortogonal a $BC$ fib tienen el mismo $x$ de coordenadas, es decir, si
$$x^4\lambda + 2x^2y^2\lambda + y^4\lambda - 2x^3\lambda - 2xy^2\lambda + x^2\lambda + y^2\lambda - y^2 = \lambda x(x - 1)(x^2 + y^2 - x)$$
Restar el lado derecho, cancelar un factor común de $y^2$, y usted termina con
$$\lambda=\frac1{x^2 + y^2 - x + 1}$$
Ahora veamos que de nuevo en el triángulo de las longitudes. Yo había borde longitudes
$$a^2 = BC^2 = 1 \qquad c^2 = AB^2 = x^2+y^2 \qquad b^2 = AC^2 = (1-x)^2+y^2$$
así que he tenido
$$a^2+b^2+c^2 = 2x^2+2y^2-2x+2$$
y por lo tanto
$$\lambda=\frac{2a^2}{a^2+b^2+c^2}$$
Tenga en cuenta que esta formulación del resultado es invariante bajo un reescalado: si la escala de todas las coordenadas en la misma cantidad, luego de que el monto de la cancela de la expresión anterior. Que encaja perfectamente con el hecho de que la combinación convexa de $P$ describe el mismo punto, no importa la escala. Así que en este punto estamos justificados a la caída de la asunción de $a=1$ y son, por tanto, de vuelta en el caso general.
Pero no fueron a preguntar sobre este factor de $\lambda$, pero, en cambio, sobre la longitud de la $PB$. Para esto tienes que multiplicar por $AB=c$, por lo que el resultado final es
$$PB=\frac{2a^2c}{a^2+b^2+c^2}$$
